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小學生五年級奧數名師專題講座輔導WORD免費下載

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 樓主| 發表于 2012-11-5 01:05:27 | 只看該作者

  1+1=2,2+3=5,3+5=8, 5+8=13,…
  這串數的規律是,從第三項起,每一個數等于前兩個數的和。根據奇偶數的加法性質,可以得出這串數的奇偶性:
  奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,……
容易看出,這串數是按“奇,奇,偶”每三個數為一組周期變化的。 1000÷3=333……1,這串數的前1000個數有333組又1個數,每組的三個數中有1個偶數,并且是第3個數,所以這串數到第1000個數時,共有333個偶數。
三、拓展提升
1.在11,111,1111,11111,…這些數中,任何一個數都不會是某一個自然數的平方。這樣說對嗎?
2.一本書由17個故事組成,各個故事的篇幅分別是1,2,3,…,17頁。這17個故事有各種編排法,但無論怎樣編排,故事正文都從第1頁開始,以后每一個故事都從新一頁碼開始。如果要求安排在奇數頁碼開始的故事盡量少,那么最少有多少個故事是從奇數頁碼開始的?
3.桌子上放著6只杯子,其中3只杯口朝上,3只杯口朝下。如果每次翻轉5只杯子,那么至少翻轉多少次,才能使6只杯子都杯口朝上?
4.70個數排成一行,除了兩頭的兩個數以外,每個數的3倍都恰好等于它兩邊的兩個數的和,這一行數的最左邊的幾個數是這樣的:0,1,3,8,21,…問:最右邊的一個數是奇數還是偶數?
5.學校組織運動會,小明領回自己的運動員號碼后,小玲問他:“今天發放的運動員號碼加起來是奇數還是偶數?”小明說:“除開我的號碼,把今天發的其它號碼加起來,再減去我的號碼,恰好是100。”今天發放的運動員號碼加起來,到底是奇數還是偶數?
6.在黑板上寫出三個整數,然后擦去一個換成所剩兩數之和,這樣繼續操作下去,最后得到88,66,99。問:原來寫的三個整數能否是1,3,5?

答案
 1.對。提示:因為平方數能被4整除或除以4余1,而形如111…11的數除以4的余數與11除以4的余數相同,余3,所以不是平方數。
  2.5個。提示:與例4類似分析可知,先排9個奇數頁的故事,其中有5個從奇數頁開始,再排8個偶數頁的故事,都是從偶數頁碼開始。
  3.3次。提示:見下表。
  
  4.偶數。
  提示:這行數的前面若干個數是:0,1,3,8,21,55,144,377,987,2584,…
  這些數的奇偶狀況是:偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,……
  從前到后按一偶二奇的順序循環出現。70÷3=23……1,第70個數是第24組數的第一個數,是偶數。
  5.偶數。
  提示:號碼總和等于100加上小明號碼的2倍。
  6.不能。
提示:如果原來寫的是1,3,5,那么從第一次改變后,三個數永遠是兩個奇數一個偶數。

(十三) 周期性問題

在日常生活中,有一些現象按照一定的規律不斷重復出現。如:人調查十二生肖:鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬;一年有春夏秋冬四個季節;一個星期有七天等。像這樣日常生活中常碰到的有一定周期的問題,我們稱為簡單周期問題。這類問題一般要利用余數的知識來解決。
    在研究這些簡單周期問題時,我們首先要仔細審題,判斷其不斷重復出現的規律,也就是找出循環的固定數,如果正好有個整數周期,結果為周期里的最后一個;如果不是從第一個開始循環,利用除法算式求出余數,最后根據余數的大小得出正確的結果。

一、例題與方法指導
        例1.        某年的二月份有五個星期日,這年六月一日是星期_____.
思路導航:
因為7 4=28,由某年二月份有五個星期日,所以這年二月份應是29天,且2月1日與2月29日均為星期日,3月1日是星期一,所以從這年3月1日起到這年6月1日共經過了
          31+30+31+1=93(天).
因為93?7=13…2,所以這年6月1日是星期二.

例2.        1989年12月5日是星期二,那么再過十年的12月5日是星期_____.
思路導航:
依題意知,這十年中1992年、1996年都是閏年,因此,這十年之中共有
365 10+2=3652(天)
因為(3652+1) 7=521…6,所以再過十年的12月5日是星期日.
[注]上述兩題(題1—題2)都是推斷若干天、若干月或若干年后某一天為星期幾,解答這類問題主要依據每周為七天循環的規律,運用周期性解答.在計算天數時,要根據“四年一閏,整百不閏,四百年才又一閏”的規定,即公歷年份不是整百數時,只要是4的倍數就是閏年,公歷年數為整百數時,必須是400的倍數才是閏年.

例3.        按下面擺法擺80個三角形,有_____個白色的.
                                    
                                      ……
思路導航:
從圖中可以看出,三角形按“二黑二白一黑一白”的規律重復排列,也就是這一排列的周期為6,并且每一周期有3個白色三角形.
因為80 6=13…2,而第十四期中前兩個三角形都是黑色的,所以共有白色三角形13 3=39(個).

        例4.        節日的校園內掛起了一盞盞小電燈,小明看出每兩個白燈之間有紅、黃、綠各一盞彩燈.也就是說,從第一盞白燈起,每一盞白燈后面都緊接著有3盞彩燈,小明想第73盞燈是_____燈.
思路導航:
依題意知,電燈的安裝排列如下:
白,紅,黃,綠,白,紅,黃,綠,白,……這一排列是按“白,紅,黃,綠”交替循環出現的,也就是這一排列的周期為4.
由73 4=18…1,可知第73盞燈是白燈.

例5.         時針現在表示的時間是14時正,那么分針旋轉1991周后,時針表示的時間是_____.
思路導航:
分針旋轉一周為1小時,旋轉1991周為1991小時.一天24小時,1991 24=82…23,1991小時共82天又23小時.現在是14時正,經過82天仍然是14時正,再過23小時,正好是13時.
[注]在圓面上,沿著圓周把1到12的整數等距排成一個圈,再加上一根長針和一根短針,就組成了我們天天見到的鐘面.鐘面雖然是那么的簡單平常,但在鐘面上卻包含著十分有趣的數學問題,周期現象就是其中的一個重要方面.
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23#
 樓主| 發表于 2012-11-5 01:05:32 | 只看該作者

二、鞏固訓練
1. 把自然數1,2,3,4,5……如表依次排列成5列,那么數“1992”在_____列.
第一列        第二列        第三列        第四列        第五列
1        2        3        4        5
        9        8        7        6
10        11        12        13        14
        18        17        16        15
…        …        …        …        …
        …        …        …        …
2. 把分數 化成小數后,小數點第110位上的數字是_____.
3. 循環小數 與 .這兩個循環小數在小數點后第_____位,首次同時出現在該位中的數字都是7.
4. 一串數: 1,9,9,1,4,1, 4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,
……共有1991個數.
   (1)其中共有_____個1,_____個9_____個4;
   (2)這些數字的總和是_____.
10. 7 7 7 …… 7所得積末位數是_____.

             50個


答案:
6.  3
仔細觀察題中數表.
             1  2  3  4  5       (奇數排)
    第一組
9        8  7  6       (偶數排)
             10  11  12  13  14  (奇數排)
    第二組
                 18  17  16  15  (偶數排)
             19  20  21  22  23  (奇數排)
    第三組  
                 27  26  25  24  (偶數排)

可發現規律如下:
(1)連續自然數按每組9個數,且奇數排自左往右五個數,偶數排自右往左四個數的規律循環排列;
(2)觀察第二組,第三組,發現奇數排的數如果用9除有如下規律:第1列用9除余數為1,第2列用9除余數為2,…,第5列用9除余數為5.
(3)10 9=1…1,10在1+1組,第1列
   19 9=2…1,19在2+1組,第1列
因為1992 9=221…3,所以1992應排列在(221+1)=222組中奇數排第3列數的位置上.
7.  7
=0.57142857……
它的循環周期是6,具體地六個數依次是
5,7,1,4,2,8
110 6=18…2
因為余2,第110個數字是上面列出的六個數中的第2個,就是7.
8.  35
因為0.1992517的循環周期是7,0.34567的循環周期為5,又5和7的最小公倍數是35,所以兩個循環小數在小數點后第35位,首次同時出現在該位上的數字都是7.
9.  853,570,568,8255.
不難看出,這串數每7個數即1,9,9,1,4,1,4為一個循環,即周期為7,且每個周期中有3個1,2個9,2個4.因為1991?7=284…3,所以這串數中有284個周期,加上第285個周期中的前三個數1,9,9.其中1的個數是:3?284+1=853(個),9的個數是2?284+2=570(個),4的個數是2?284=568(個).這些數字的總和為
1?853+9?570+4?568=8255.


三、拓展提升
1. 緊接著1989后面一串數字,寫下的每個數字都是它前面兩個數字的乘積的個位數.例如8 9=72,在9后面寫2,9 2=18,在2后面寫8,……得到一串數字:
1  9  8  9  2  8  6……
這串數字從1開始往右數,第1989個數字是什么?
2. 1991個1990相乘所得的積與1990個1991相乘所得的積,再相加的和末兩位數是多少?
3. 設n=2 2 2 …… 2,那么n的末兩位數字是多少?        

            1991個
4.在一根長100厘米的木棍上,自左至右每隔6厘米染一個紅點,同時自右至左每隔5厘米也染一個紅點,然后沿紅點處將木棍逐段鋸開,那么長度是1厘米的短木棍有多少根?


答案:11.  依照題述規則多寫幾個數字:
1989286884286884……
可見1989后面的數總是不斷循環重復出現286884,每6個一組,即循環周期為6.因為(1989-4) 6=330…5,所以所求數字是8.
12.  1991個1990相乘所得的積末兩位是0,我們只需考察1990個1991相乘的積末兩位數即可.1個1991末兩位數是91,2個1991相乘的積末兩位數是81,3個1991相乘的積末兩位數是71,4個至10個1991相乘的積的末兩位數分別是61,51,41,31,21,11,01,11個1991相乘積的末兩位數字是91,……,由此可見,每10個1991相乘的末兩位數字重復出現,即周期為10.因為1990 10=199,所以1990個1991相乘積的末兩位數是01,即所求結果是01.
13.  n是1991個2的連乘積,可記為n=21991,首先從2的較低次冪入手尋找規律,列表如下:

n        n的十位數字        n的個位數字        n        n的十位數字        n的個位數字
21        0        2        212        9        6
22        0        4        213        9        2
23        0        8        214        8        4
24        1        6        215        6        8
25        3        2        216        3        6
26        6        4        217        7        2
27        2        8        218        4        4
28        5        6        219        8        8
29        1        2        220        7        6
210        2        4        221        5        2
211        4        8        222        0        4

觀察上表,容易發現自22開始每隔20個2的連乘積,末兩位數字就重復出現,周期為20.因為1990 20=99…10,所以21991與211的末兩位數字相同,由上表知211的十位數字是4,個位數字是8.所以,n的末兩位數字是48.
14.  因為100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我們可以看作是從同一端點染色.
6與5的最小公倍數是30,即在30厘米的地方,同時染上紅色,這樣染色就會出現循環,每一周的長度是30厘米,如下圖所示.
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24#
 樓主| 發表于 2012-11-5 01:05:37 | 只看該作者


由圖示可知長1厘米的短木棍,每一周期中有兩段,如第1周期中,6-5=1,5 5-6 4=1.剩余10厘米中有一段.所以鋸開后長1厘米的短木棍共有7段.綜合算式為:
2 [(100-10) 30]+1
=2 3+1
=7(段)
[注]解決這一問題的關鍵是根據整除性把自右向左每隔5厘米的染色,轉化為自左向右的染色,便于利用最小公倍數發現周期現象,化難為易.


(十四) 植樹問題

只要我們稍加留意,都會看到在馬路兩旁一般都種有樹木。細心觀察,這些樹木的間距一般都是等距離種植的。路長、間距、棵數之間存在著確定的關系,我們把這種關系叫做“植樹問題”。而植樹問題,一般又可分為封閉型的和不封閉型的(開放型的)。
封閉型的和不封閉型的植樹問題,區別在于間隔數(段數)與棵數的關系:
1、不封閉型的(多為直線上),一般情況為兩端植樹,如下圖所示,其路長、間距、棵數的關系是:
但如果只在一端植樹,如右圖所示,這時路長、間距、棵數的關系就是:
如果兩端都不植樹,那么棵數比一端植樹還要再少一棵,其路長、間距、棵數的關系就是:
2、封閉型的情況(多為圓周形),如下圖所示,那么:


植樹問題的三要素:
總路線長、間距(棵距)長、棵數.
只要知道這三個要素中任意兩個要素,就可以求出第三個.
植樹問題的分類:
  ⑴直線型的植樹問題 ⑵封閉型植樹問題 ⑶特殊類型的植樹問題

一、例題與方法指導

例1 有一條公路長1000米,在公路的一側每隔5米栽一棵垂柳,可種植垂柳多少棵?
思路導航:
每隔5米栽一棵垂柳,即以兩棵垂柳之間的距離5米為一段。公路的全長1000米,分成5米一段,那么里包含有1000÷5=200段。由于公路的兩端都要求種樹,所以要種植的棵數比分成的段數多1,所以,可種植垂柳200+1=201棵。

例2 某一淡水湖的周長1350米,在湖邊每隔9米種柳樹一株,在兩株柳樹中間種植2株夾枝桃,可栽柳樹多少株?可栽夾枝桃多少株?兩株夾枝桃之間相距多少米?
思路導航:
在圓周上植樹時,由于可栽的株數等于分成的段數,所以,可栽柳樹=1350÷9=150株;由于兩株柳樹之間等距離地栽株夾枝桃,而間隔數(段數)為150,所以栽夾枝桃的株數=2×150=300株;每隔9米種柳樹一株,在兩株夾枝桃之間等距地栽2株夾枝桃,這就變成兩端都不植樹的情形,即2株等距離栽在9米的直線上,不含兩端,所以,每兩株之間的距離=9÷(2+1)=3(米)。
例3 一條街上,一旁每隔8米有一個廣告牌,從頭到尾有16個廣告牌,現在要進行調整,變成每12米有一個廣告牌。那么除了兩端的廣告牌外,中間還有幾個牌不需要移動?
思路導航:
16個廣告牌,每相鄰的兩個廣告牌的間隔為8米,則共有16-1=15 個間隔,這條街的總長度為8×15=120(米);現在要調整為每12米一個廣告牌,那么不移動的牌離端點的距離一定既是8的倍數,同時也是12的倍數;8×3=12×2=24,也就是說,每24米及其倍數處的廣告牌可以不需要移動;120÷24=5,即段數為5個,但要扣除兩端的2個,所以,中間不需要移動的有5-1=4個。
事實上,所謂植樹問題只是我們對這一種類型問題的總稱,并不單指植樹問題。例如,與之類似的還有爬樓(梯)問題、隊列問題、敲鐘問題、鋸木頭問題的等。所以,植樹問題又稱上樓梯問題。

二、鞏固訓練

1 某人要到一座高層樓的第8層辦事,不巧停電,電梯停開。如果他從1層走到4層需要48秒,請問以同樣的速度走到八層,還需要多少秒?
思路導航::
要求還需要多少秒才能到達,必須先求出上一層樓梯需要幾秒,并且知道從4樓走到8樓共需要走幾層樓梯。從1層走到4層,事實所爬的層數只是4-1=3層,所以上一層樓梯需要的時間是48÷(4-1)=16(秒);又,從4樓走到8樓共需走8-4=4層樓梯,所以還需要的時間是16×4=64秒。
2 光華路小學三年級學生有125人參加運動會入場式,他們每5人一行,前后每行間隔為2米,主席臺長42米,他們以每分鐘45米的速度通過主席臺需要多少分鐘?
思路導航::
125人參加運動會入場式,每5人一行,共排了125÷5=25行,那么這里25行就相當于直線上的25棵樹,所以,這列隊的長度為兩端植樹的路的長度,全長是2×(25-1)=48米;這列隊伍通過主席臺,所走的總路程應該是隊伍長度與主席臺長度之和,即:48+42=90米,所以,他們通過主席臺的時間是90÷45=2分鐘。
3 下圖是五個大小相同的鐵環連在一起的圖形,它的長度是多少?十個這樣的鐵環連在一起有多長?
思路導航::
根據上圖所示,要求出它的總長度是多少,關鍵是求出重疊部分需要扣除的長度。每一個鐵環的厚度為6毫米,注意到重疊部分,后面連上的鐵環將有2個厚度是重疊的,也就是說實際每加一個鐵環所延伸的長度為4厘米-2×6毫米=40毫米-12毫米=28毫米; 根據我們前面所講的植樹問題,五個鐵環連在一起,“環扣”數為5-1=4(個),所以,五個大小相同的鐵環連在一起時,總長度為40+4×28=152(毫米)。同理,十個鐵環連在一起的長度為40+ (10-1) ×28=292(毫米)。
4 一個木工把一根長24米的木條鋸成了3米長的小段,每鋸斷一次要用5分鐘,共需多少分鐘?
思路導航::
要求需要的時間,我們就要弄清楚共需鋸幾次。24米長的木條里面包含有24÷3=8個3米,8段有8-1=7個間隔,即木工只需鋸7次,那么,每次5分鐘,一共需要用時5×7=35分鐘。


三、能力提升
1 一個街心花園如下圖所示,它由四個大小相等的等邊三角形組成。已知從每個小三角形的頂點開始,到下一個頂點均勻栽有9棵花。問大三角形邊上栽有多少棵花?整個花園中共栽多少棵花?

思路導航::
由題意可知,大三角形的邊長是小三角形邊長的2倍,因為每個小三角形的邊上均勻栽9株, 而大三角形的每條邊由兩個小三角形的邊重疊一個頂點而成,所以,大三角形的每條邊上栽的棵數為:9×2-1=17棵;又大三角形三個頂點上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的,所以,大三角形三條邊上共栽花:(17-1)×3=48棵;再看圖中間的陰影小三角形,每邊所栽花的棵數就是一個兩端不種樹的植樹問題,所以小三角形每條邊上栽花的棵數為9-2=7棵,中間共栽花:7×3=21棵,所以,整個花壇共栽花:48+21=69棵。

2 時鐘4點敲4下,用12秒敲完。那么6點鐘敲6下,幾秒鐘敲完?

思路導航::
4點鐘敲4下,共12秒,而4下中間有3個間隔,說明每一個間隔的秒數為12÷(4-1)=4秒;12點敲12下,中間有11個間隔,所以一共需要4×(12-1)=44秒敲完。

3 鐵路旁每隔50米有一根電線桿,某旅客為了計算火車速度,測量出從經過第1根電線桿起到經過第37根電線桿止共用了2分。火車的速度是多少?
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25#
 樓主| 發表于 2012-11-5 01:05:43 | 只看該作者

思路導航::
從第1根電線桿起到第37根電線桿,共有37-1=36個間隔;每隔50米有一根電線桿,也就是說間隔為50米;那么,行使的總路程為:50×(37-1)=1800米;2分鐘=2×60秒=120秒,共行1800米,所以,火車速度為:1800÷120=15米/秒。

(十五) 有趣的樹陣圖

把一些數字按照一定的要求,排成各種各樣的圖形,這類問題叫數陣圖.數陣是一種由幻方演變而來的數字圖.數陣圖的種類繁多,這里只向大家介紹三種數陣圖,即封閉型數陣圖、輻射型數陣圖和復合型數陣圖.為了讓同學們學會解數陣圖的分析思考方法,我們舉例說明.

一、例題與方法指導
例1.        在右圖的九個方格中填入不大于12且互不相同的九個自然數(其中已填好一個數),使得任一行、任一列及兩條對角線上的三個數之和都等于21。

思路導航:
由上一講例4知中間方格中的數為7。再設右下角的數為x,然后根據任一行、任一列及每條對角線上的三個數之和都等于21,如下圖所示填上各數(含x)。

  因為九個數都不大于12,由16-x≤12知4≤x,由x+2≤12知x≤10,即4≤x≤10。考慮到5,7,9已填好,所以x只能取4,6,8或10。經驗證,當x=6或8時,九個數中均有兩個數相同,不合題意;當x=4或10時可得兩個解(見下圖)。這兩個解實際上一樣,只是方向不同而已。
 
例2.        將九個數填入下圖的空格中,使得每行、每列、每條對角線上的三個數之和都相等,則一定有

證明:         
思路導航:
設中心數為d。由上講例4知每行、每列、每條對角線上的三個數之和都等于3d。由此計算出第一行中間的數為2d——b,右下角的數為2d-c(見下圖)。

  根據第一行和第三列都可以求出上圖中★處的數由此得到
  3d-c-(2d-b)=3d-a-(2d-c),
  3d-c-2d+b=3d-a-2d+c,
  d——c+b=d——a+c,
  2c=a+b,
  a+b
  c=2。
  值得注意的是,這個結論對于a和b并沒有什么限制,可以是自然數,也可以是分數、小數;可以相同,也可以不同。
例3.        在下頁右上圖的空格中填入七個自然數,使得每一行、每一列及每一條對角線上的三個數之和都等于90。

思路導航:
由上一講例4知,中心數為90÷3=30;由本講例2知,右上角的數為(23+57)÷2=40(見左下圖)。其它數依次可填(見右下圖)。

例4.        在右圖的每個空格中填入個自然數,使得每一行、每一列及每條對角線上的三個數之和都相等。

思路導航:
由例2知,右下角的數為

  (8+10)÷2=9;由上一講例4知,中心數為(5+9)÷2=7(見左下圖),且每行、每列、每條對角線上的三數之和都等于7×3=21。由此可得如圖的填法。

二、鞏固訓練
  1. 將1~6分別填在圖中,使每條邊上的三個○內的數的和相等.
                  




2. 把1~8個數分別填入○中,使每條邊上三個數的和相等.






3. 把1~9個數分別填入○中,使每條邊上四個數的和相等.






4. 把1~10填入圖中,使五條邊上三個○內的數的和相等.






    5. 將1~8個數分別填入圖中,使每個圓圈上五個數和分別為20,21,22.
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