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小学生五年级奥数名师专题讲座辅导WORD免费下载

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15#
 楼主| 发表于 2012-11-5 01:04:53 | 只看该作者

(八) 不规则图形面积计算(2)
不规则图形的另外一种情况,就是由圆、扇形、弓形与三?#20999;巍?#27491;方形、长方形等规则图形组合而成的,这是一类更为复杂的不规则图形,为?#24605;?#31639;它的面积,常常要变动图形的位?#27809;?#23545;图形进行适当的分割、拼补、旋转等手?#38382;?#20043;转化为规则图形的和、差关系,同时还常要和“容斥原理?#20445;?#21363;:集合A与集合B之间有:SA∪B=SA+Sb-SA∩B)合并使用才能解决。
一、例题与方法指导

例1        .        如右图,在一个正方?#25991;冢?#20197;正方形的三条边为?#26412;?#21521;内作三个半圆.求阴影部分的面积。



解法1:把上图靠下边的半圆换成(面积与它相等)右边的半圆,得到右图.这时,右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样,因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。
解法2?#33322;?#19978;半个“弧边三?#20999;巍?#20174;中间切开,分别补贴在下半圆的上侧边上,如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。
解法3?#33322;?#19979;面的半圆从中间切开,分别贴补在上面弧边三?#20999;?#30340;?#35762;啵?#22914;右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.
例2.        如右图,正方形ABCD的边长为4厘米,分别以B、D为圆心以4厘米为半?#23545;?#27491;方?#25991;?#30011;圆,求阴影部分面积。
解:由容斥原理   S阴影=S扇形ACB+S扇形ACD-S正方形ABCD

  

例3                如右图,矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=4厘米,扇形ABE半径AE=6厘米,扇形CBF的半CB=4厘米,求阴影部分的面积。
      





例4.        如右图,直角三?#20999;蜛BC中,AB是圆的?#26412;叮?#19988;AB=20厘米,如果阴影(Ⅰ)的面积比阴影(Ⅱ)的面积大7平方厘米,求BC长。
分析 已知阴影(Ⅰ)比阴影(Ⅱ)的面积大7平方厘米,就?#21069;?#22278;面积比三?#20999;蜛BC面积大7平方厘米;?#31181;?#21322;圆?#26412;禔B=20厘米,可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米,就可求出三?#20999;蜛BC的面积,进而求出三?#20999;?#30340;底BC的长.
 




二、巩固训练
        1.        如右图,两个正方形边长分别是10厘米和6厘米,求阴影部分的面积。
分析 阴影部分的面积,等于底为16、高为6的直角三?#20999;?#38754;积与图中(I)的面积之差。而(I)的面积等于边长为6的正方形的面积减去 以6为半径的圆的面积。




2.        如右图,将?#26412;禔B为3的半圆绕A逆时针旋转60°,此时AB到达AC的位置,求阴影部分的面积(取π=3).
解:整个阴影部分被线段CD分为Ⅰ和Ⅱ?#35762;?#20998;,以AB为?#26412;?#30340;半圆被   弦AD分成?#35762;?#20998;,设其中AD右侧的部分面积为S,由于弓形AD是两个半圆的公共部分,去掉AD弓形后,两个半圆的剩余部分面积相等.即Ⅱ=S,由于:
 



        3.        如右图,ABCD是正方形,且FA=AD=DE=1,求阴影部分的面积.

  
  



4.        如下页右上图,ABC是等腰直角三?#20999;危珼?#21069;?#22278;周上的中点,BC?#21069;?#22278;的?#26412;叮?#19988;AB=BC=10,求阴影部分面积(π取3.14)。
解:∵三?#20999;蜛BC是等腰直角三?#20999;危?#20197;AC为对角线再作一个全等的等腰直角三?#20999;蜛CE,则ABCE为正方形(利用对称性?#21097;?br />

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16#
 楼主| 发表于 2012-11-5 01:04:57 | 只看该作者


总结:对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合,分析整体与部分的和、差关系,问题便得到解决.常用的基本方法有:
一、        相加法:
这?#22336;?#27861;是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形,分别计算它们的面积,然后相加求出整个图形的面积.例如,右图中,要求整个图形的面积,只要先求出上面半圆的面积,再求出下面正方形的面积,然后把它们相加就可以了.
二、        相减法:
这?#22336;?#27861;是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如,右图,若求阴影部分的面积,只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.
三、        直接求法:
这?#22336;?#27861;是根据已知条件,从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图,欲求阴影部分的面积,通过分析发现它就是一个?#36164;?,高为4的三?#20999;危?#38754;积可直接求出来。  
四、        重新组合法:
这?#22336;?#27861;是将不规则图形拆开,根据具体情况?#22270;?#31639;上的需要,重新组合成一个新的图形,设法求出这个新图形面积即可.例如,欲求右图中阴影部分面积,可以把它拆开使阴影部?#22336;?#24067;在正方形的4个角处,这时采用相减法就可求出其面积了.

五、        辅助线法:
这?#22336;?#27861;是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线,使不规则图形转化成若干个基本规则图形,然后再采用相加、相减法解决即可.如右图,求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决,但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.
六、        割补法:
这?#22336;?#27861;?#21069;?#21407;图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形,从而使问题得到解决.例如,如右图,欲求阴影部分的面积,只需把右边弓形切割下来补在左边,这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.
七、        平移法:
这?#22336;?#27861;是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置,使之组合成一个新的基本规则图形,便于求出面积.例如,如右图,欲求阴影部分面积,?#19978;?#27839;中间切开把左边正方?#25991;?#30340;阴影部?#21046;?#34892;移到右边正方?#25991;冢?#36825;样整个阴影部分恰是一个正方形。
八、        旋转法:
这?#22336;?#27861;是将图形中某一部分切割下来之后,使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧,从而组合成一个新的基本规则的图形,便于求出面积.例如,欲求图(1)中阴影部分的面积,可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°,使A与C重合,从而构成如右图(2)?#38590;?#23376;,此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三?#20999;?#30340;面积.
九、        对称添补法:
这?#22336;?#27861;是作出原图形的对称图形,从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如,欲求右图中阴影部分的面积,沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
十、重叠法:
这?#22336;?#27861;是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分,然后运用“容斥原理?#20445;⊿A∪B=SA+SB-SA∩B)解决。例如,欲求右图中阴影部分的面积,?#19978;?#27714;两个扇形面积的和,减去正方形面积,因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.


(九) 逻辑推理

曾经爱因?#22266;?#20986;过一道测试题, 他说世界上有98%的人回答不出!!让我们一起来看?#35789;?#20160;么题呢。
在一条街上有5座颜色不同的房子,住着5个不同国家的人,他们抽着5种不同?#38590;蹋?#21917;着5种不同的饮料,养着5种不同的宠物。有下面15个已知条件,求解。
1、英国人住红色房子。
2、瑞典人养狗。
3、丹麦人喝茶。
4、绿色房子在白色房?#24188;?#38754;。
5、绿色房子主人喝咖?#21462;?br /> 6、抽Pall Mall香烟的人养鸟。
7、黄色房子主人抽Dunhill香烟。
8、住在中间房子的人喝牛奶。
9、挪威人住第一间房。
10、抽Blends香烟的人住在养猫的人隔壁。
11、养马的人住抽Dunhill香烟的人隔壁。
12、抽Blue Master的人?#32469;【啤?br /> 13、德国人抽Prince香烟。
14、挪威人住蓝色房子隔壁。
15、抽Blends香烟的人有一个?#20154;?#30340;邻?#21360;?br /> 问:哪个国家的人养鱼?
这道题为什么会难倒这么多?#22235;兀?#39318;先,我们就来研究一下关于他的最基本的逻辑问题吧。
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17#
 楼主| 发表于 2012-11-5 01:05:02 | 只看该作者

一、例题与方法指导

        例1.        某地质学院的学生对一种矿石进行观察?#22270;?#21035;:
  ?#30528;?#26029;:不是铁,也不是铜。
  乙判断:不是铁,而是锡。
  丙判断:不是锡,而是铁。
经化验证明:有一个人的判断完全正确,有一个人说对了一半,而另一个人完全说错了。你知道三人中谁是对的,谁是错的,谁是只对一半的吗?
思路导航:
丙全说对了,甲说对了一半,乙全说错了。先设甲全对,推出矛盾后,再设乙全对,又推出矛盾,则?#24471;?#19993;全对,甲说对了一半,乙全说错了。

        例2.        数学?#21917;?#21518;,小明、小华和小强各获得一枚奖牌,其中一人得金牌,一人得银牌,一人得铜?#21860;?#32769;师猜测:“小明得金牌,小华不得金牌,小强不得铜?#21860;!?#32467;果老师只猜对了一个,那?#27492;?#24471;金牌,谁得银牌,谁得铜牌?
思路导航:
小华得金牌,小强得银牌,小明得铜?#21860;?br /> (1)若小明得金牌,小华一定“不得金?#21860;保?#36825;与“老师只猜对了一个”相矛盾,不合题意。
(2)若小华得金牌,那么“小明得金?#21860;?#19982;“小华不得金?#21860;?#36825;两句都是错的,那么“小强不得铜?#21860;?#24212;是正确的,那么小强得银牌,小明得铜?#21860;?br />
        例3.        一位法官在审理一起盗窃案中,对涉及到的四名?#21491;?#29359;?#20303;?#20057;、丙、丁进行了审问。四人分别供述如下:
  甲说:?#30333;?#29359;在乙、丙、丁三人之?#23567;!?br />   乙说:“我没有做案,是丙偷的。”
  丙说:“在甲和丁中间有一人是罪犯。”
  丁说:“乙说的是事实。”
  经过充分的调查,证实这四人中有两人说?#33487;?#35805;,另外两人说的是假话。
  同学们,请你做一名公正的法官,?#28304;?#26696;进行裁决,?#21857;?#35841;是罪犯?
思路导航:
乙和丁是盗窃犯。如果甲说的是假话,那?#35789;?#19979;三人中有一人说的?#24425;?#20551;话,另外两人说的是真话。可是乙和丁两人的观点一致,所以在剩下的三人中只能是丙说?#24605;?#35805;,乙和丁说的都是真话。即“丙是盗窃犯”。这样一来,甲说的?#24425;?#23545;的,不是假话。这样,前后就产生了矛盾。所以甲说的不可能是假话,只能是真话。同理,剩下的三人中只能是丙说真话。乙和丁说的是假话,即丙不是罪犯,乙是罪犯。又由甲所述为真话,即甲不是罪犯。再由丙所述为真话,即丁是罪犯。


二、巩固训练

1.        小王、小张、小李三人在一起,其中一位是工人,一位是战士,一位是大学生。现在知道:小李?#26085;?#22763;年龄大,小王和大学生不同岁,大学生比小张年龄小。那么三人各是什么职业?
解:小李是大学生,小王是战士,小张是工人.

        2.        ?#20303;?#20057;、丙分别是来自中国、日本和英国的小朋友。甲?#25442;?#33521;文,乙不懂日语却与英国小朋友热烈交谈。问:?#20303;?#20057;、丙分别是哪国的小朋友?
解:?#36164;?#26085;本人,乙是中国人,丙是英国人。

        3.        徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工,他们都是象棋迷。
  (1)车工只和电工下棋;
  (2)王、陈两位师傅经常与木工下棋;
  (3)徐师傅与电工下棋互有胜负;
  (4)陈师?#24403;?#38067;工下得好。
  问:徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种?


徐是车工,王是钳工,陈是电工,赵是木工。
  
解:提示:由(2)(3)(1)可画出右表:




(十) 牛?#22278;?br />
  牛?#22278;?#38382;题又称为消长问题或牛顿牧场,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛?#22278;?#38382;题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

  由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所?#22278;?#30340;存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛?#22278;?#38382;题重点是要想办法从变化中找?#35762;?#21464;量。牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的。这类问题常用到四个基本公式,分别是:

(1)草的生长速度=(?#26434;?#30340;牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数);
(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;
        (3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);
        (4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

这四个公式是解决牛?#22278;?#38382;题的基础。一般设每头牛每天?#22278;?#37327;不变,设为"1",解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题总所求的问题。
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18#
 楼主| 发表于 2012-11-5 01:05:07 | 只看该作者

一、例题与方法指导
例1.       
青青一牧场
青青一牧场,牧草喂牛羊;放牛二十七,六周全吃光。
?#38590;?#24319;三只,九周走他方;若养二十一,可作几周粮?
(注:“廿”的?#28872;?#19982;“念”相同。“廿”即二十之意。)

【解说?#31354;?#36947;诗题,是依据闻名于世界的“牛顿牛?#22278;?#38382;题?#21271;?#20889;的。牛顿是英国人,他的种种?#24405;?#26089;已闻名于世,这里不赘述。他曾写过一本书,名?#23567;?#26222;遍的算术》,“牛?#22278;?#38382;题?#26412;?#32534;写在这本书?#23567;?#20070;中的这道题目翻译过?#35789;牽?br />
  一牧场长满青草,27头牛6个星期可以吃完,或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛,要几个星期才可以吃完?(注:牧场的草是不断生长的。)

解答这一问题,首先必须注意牧场里的草是不断生长增多的,而并非一个固定不变的数值。这虽然大大地增加了解题的难度,但我们不要害怕。只要依据下面的思路,就一定会找到问题的答案。

思路导航:
  因为27头6星期草料=(27×6=)162头一星期草料
  23头9星期草料=(23×9=)207头一星期草料
而这一牧场6星期吃完与9星期吃完,草料数量要相差207—162=45(头牛吃一星期的草料)
这多出的草料,便是  9—6=3(个星期之内新长出的草料)
所以,一个星期新长出的草料便是
45÷3=15(头牛吃一星期的草料)
进而可知,这牧场最初的草料数量就是
(27—15)×6=72(头牛吃一个星期的草料)
  现在,有21头牛来吃这牧场里的草,其中必须拿出15头牛来吃每个星期新长出来的草料,这就只剩下:21-15=6(头牛)
  去吃最初已经长成的草料了。所以,21头牛来吃这牧场的草料,全部吃光所需要的时间就是
  72÷6=12(个星期)
  列成综合算式,就是:
  [27-(23×9—27×6)÷(9—6)]×6÷[21-(23×9—27×6)÷(9—6)]
  =[27-45÷3]×6÷[21-45÷3]
  =12×6÷6
  =12(个星期)

答:21头牛要12个星期才可以吃完。


例2.        一个牧场长满青草,牛在?#22278;?#32780;草又在不断生长,已知牛27头,6天把草吃尽,同样一片牧场,牛23头,9天把草吃尽。如果有牛21头,几天能把草吃尽?
摘录条件:
  27头    6天    原有草+6天生长草
  23头    9天    原有草+9天生长草
  21头    ?天   原有草+?天生长草
  解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为"1",由条件可知,前后两次青草的问题相差为23×9-27×6=45。为什么会多出这45呢?#31354;?#26159;第二次比第一?#21619;?#30340;那(9-6)=3天生长出来的,所以每天生长的青草为45÷3=15
  现从另一个角?#28909;?#29702;解,这个牧场每天生长的青草正?#27599;?#20197;满足15头牛吃。由此,我们可以把每次来?#22278;?#30340;牛分为两组,一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草,另一组来吃是原来牧场上的青草,那么在这批牛开始?#22278;?#20043;前,牧场上有多少青草呢?
  (27-15)×6=72
  那么:第一次?#22278;?#37327;27×6=162第二次?#22278;?#37327;23×9=207
  每天生长草量45÷3=15
  原有草量(27-15)×6=72或162-15×6=72
21头牛分两组,15头去吃生长的草,其余6头去吃原有的草那么72÷6=12(天)

        例3.        一水库原有存水量一定,河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干,6台同样的抽水机连续15天可抽干,若要6天抽干,要多少台同样的抽水机?
  摘录条件:
  5台    20天    原有水+20天入库量
  6台    15天    原有水+15天入库量
?台   6天     原有水+6天入库量
设1台1天抽水量为"1",第一次总量为5×20=100,第二次总量为6×15=90
每天入库量(100-90)÷(20-15)=2
20天入库2×20=40,原有水100-40=60
60+2×6=7272÷6=12(台)
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19#
 楼主| 发表于 2012-11-5 01:05:11 | 只看该作者

二、巩固训练
1、某车站在检票前若干分钟就开始排队了,每分钟来的?#27599;?#19968;样多,从开始检票到队伍消失(还有人在接受检票),若开5个检票口,要30分钟,开6个检票口,要20分?#21360;?#22914;果要在10分钟消失,要开多少个检票口?
解:把每个检票口一分钟检票量作为1份,则每分钟来的?#27599;?#20026;:
﹙5×30-6×20﹚÷﹙30-20﹚=3份        开始检票前有?#27599;停?×30-30×3=60份
所以要10分钟剪完票,需要看开﹙60+3×10﹚÷10=9个
2、画展9点开?#29275;?#20294;早有人来排队入场,从第一个观众来到时起,若每分钟来的观众一样多,如果开3个入场口,9点9分就不再有人排队;如果开5个入场口,9点5分就没有人排?#21360;?#27714;第一个观众到达的时间。
解:设每一个入场口每分钟通过“1份”人。
每分钟到来的人有﹙27-25﹚÷﹙9-5﹚=0.5份人
开门前已经有27-0.5×9=22.5份人
这些人来到画展,用时间22.5÷0.5=45(分)
第一个观众到达的时间为9点-45分=8点15分
3、由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天匀速减少。经过计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或者供16头牛吃6天,那么这片牧场上的草可供11头牛吃几天?
解:20头牛5天?#22278;?0×5=100(份),16头牛6天?#22278;?6×6=96(份)
   青草每天减少(100-96)÷﹙6-5﹚=4(份)      牧场原有草:100+4×5=120(份)
   每天减少4份草,相当于4头牛吃掉,所以120份草可供11+4=15头牛吃8天。
4、由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少。如果牧场上的草可供20头牛吃5天,或者供15头牛吃6天,那么可供多少头牛吃10天?
解:青草每天减少(20×5-15×6)÷﹙6-5﹚=10(份)
    牧场原有草:100+10×5=150(份)              150份草10天可供150÷10=15(头)
但每天减少10份,相当于10头牛吃掉,所以只能供牛:15-15(头)

三、拓?#22266;?#21319;
1.        自动扶梯以均匀的速度由上往下行驶,小明和小红要从扶梯?#19979;ィ?#23567;明每分?#24188;?0梯级,小红每分?#24188;?4梯级,结果小明4分钟到达楼上,小红用5分钟到达楼上,求扶梯共有多少级?
  解:电梯每分?#24188;?0×4-14×5=10(级)
所以扶梯共有(20+10)×4=120(级)

2.        两只蜗牛由于耐不住阳光的照射,从井顶走向井底,白天往下走,一只蜗牛一个白天能走20分米,另一只只能走15分米;黑夜里往下滑,两只蜗牛下滑速度相同,结果一只蜗牛5昼夜到达井底,另一只却恰好用了6昼夜。问井深是多少?
解:蜗牛黑夜下滑的速度为﹙20×5-15×6﹚÷﹙6-5﹚=10(分米)。
  井深:﹙20+10﹚×5=150(分米)

3.        有三块草地,面积分别是5公顷,15公顷和24公顷。草地上的草一样厚而?#39029;?#24471;一样快。第一块草地可供10头牛吃30天;第二块草地可供28头牛吃45天。那么第三块草地可供多少头牛吃80天?
解:一头牛一天?#22278;?#37327;为1份
    10×30=300                      ………………5公顷草量+5公顷30天生长量
    300÷5=60                       ………………1公顷草量+1公顷30天生长量
    28×45=1260                     ………………15公顷草量+15公顷45天生长量
    1260÷15=84                     ………………1公顷草量+1公顷45天生长量
﹙84-60﹚÷﹙45-30﹚=1.6         ………………1公顷1天生长量
1公顷草地原有草:60-1.6×30=12
24公顷草地原有草够多少头牛吃80天:12×24÷80=3.6(头)
24公顷草地每天生长的草够多少头牛吃:1.6×24=38.4(头)
共3.6+38.4=42头

4.        12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草,21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草(每公亩牧场上原有草量相等,且每公亩牧场上每天生长草量相等)?
解:一公亩一天新生长草?#38752;?#20379;多少头牛吃一天?
﹙63×21÷30-12×28÷10﹚÷﹙63-28﹚=0.3(头)
一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天?
12×28÷10-0.3×28=25.2(头)
72公亩的牧草可供多少头牛吃126天?
72×25.2÷126+72×0.3=36(头)



(十一) 流水?#20889;?br />
船在流水中航行的问题叫做?#20889;?#38382;题。?#20889;?#38382;题?#20999;?#31243;问题中比较特殊的类型,它除了具备行程问题中路程、速度和时间之间的基本数量关系,同时还涉及到水流的问题,因船在江、河里航行时,除了它本身的前进速度外,还会受到流水的顺推或逆阻。
?#20889;?#38382;题中常用的概念有:船速、水速、顺水速度和逆水速度。船在静水中航行的速度?#20889;?#36895;;江河水流动的速度叫水速;船从上游向下游顺水而行的速度叫顺水速度;船从下游往上?#25991;?#27700;而行的速度?#24515;?#27700;速度。
除了行程问题中路程、速度和时间之间的基本数量关系在这里要反复用到外,?#20889;?#38382;题还有几个基本公式要用到。
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
如果已知顺水速度和逆水速度,由和差问题的解题方法,我们可以求出船速和水速。
船速=(顺水速度+逆水速度)÷2
水速=(顺水速度-逆水速度)÷2
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20#
 楼主| 发表于 2012-11-5 01:05:16 | 只看该作者

一、例题与方法指导
例1.        船在静水中的速度为每小时13千米,水流的速度为每小时3千米,船从甲港顺流而下到达乙港用了15小时,?#21491;?#28207;返回甲港需要多少小时?
思路导航:
根据条件,用船在静水中的速度+水速=顺水速度,知道了顺水速度和顺水时间,可以求出甲乙两港之间的路程。因为返回时是逆水航行,用船在静水中的速度-水速=逆水速度,再用甲乙两港之间的全长除以逆水速度即可求出乙港返回甲港所需时间。
解:        顺水速度:13+3=16(千米/小时)
            逆水速度:13-3=10(千米/小时)
                全程:16×15=240(千米)
返回所需时间:240÷10=20(千米/小时)
答:?#21491;?#28207;返回甲港需要24小时。

例2.        一艘小船往返于一段长120千米的航道之间,上行时行了15小时,下行时行了12小时,求船在静水中航行的速度与水速各是多少?
思路导航:
求船在静水中航行的速度是求船速,用路程除以上行的时间就是逆行速度,路程除以下行时间就是顺水速度。顺水速度与逆水速度的和除以2就是船速,顺水速度与逆水速度的差除以2就是水速。
解:逆水速度:120÷15=8(千米/小时)
顺水速度:120÷12=10(千米/小时)
船速:(10+8)÷2=9(千米/小时)
水速:(10--8)÷2=1(千米/小时)
答:船在静水中航行的速度是每小时9千米,水速是每小时1千米。

例3.        ?#20303;?乙两港相距200千米。一艘轮船从甲港顺流而下10小时到达乙港,已知船速是水速的9?#19969;?#36825;艘轮船?#21491;?#28207;返回甲港用多少个小时?
思路导航:
根据?#20303;?#20057;两港的距离和从甲港到乙港的时间可以求出顺水速度是每小时200÷10=20(千米/小时),顺水速度是船速与水速的和,已知船速是水速的9倍,可以求出水速是20÷(1+9)=2(千米/小时),船速为2×9=18(千米/小时),逆水速度为18-2=16(千米/小时)
解:顺水速度:200 ÷10=20(千米/小时)
        水速:20÷(1+9)=2(千米/小时)
        船速:2×9=18(千米/小时)
    逆水速度:18-2=16(千米/小时)
返回时间:200÷16=12.5(小时)
答:这艘轮船?#21491;?#28207;返回甲港用12.5个小时。

二、巩固训练
        1.        A、B两港间相距360千米,一艘轮船往返两港需35小时,逆流航行?#20154;?#27969;航行多花了5小时。另有一?#19968;?#24070;船,静水中速度是每小时12千米,这?#19968;?#24070;船往返两港要多少小时?
【思路导航】先根据和差问题的解题思路,分别求出顺行时间和逆行时间;再根据两港相距360千米和轮船的顺行时间、逆行时间求出轮船的顺行速度和逆行速度;求出了顺行速度和逆行速度就可以求出水流的速度;最后,根据两港相距360千米和机帆船的船速、水速可求出机帆船顺流航行和逆流航行的时间,两者相加的?#22270;词?#25152;求的问题。
解:顺行时间:(35-5)÷2=15(小时)              逆行时间:35-15=20(小时)        
顺水速度:360÷15 = 24(千米/小时)            逆水速度:360÷20=18(千米/小时)   
水速:(24-18)÷2=3(千米/小时)
    往返时间:360÷(12+3)+360÷(12-3)=64(小时)
答:这?#19968;?#24070;船往返两港要64小时。

2.        ?#20303;?#20057;两只小船在静水中速度分别为每小时12千米和每小时16千米,两船同时从相距168千米的上、下游两港同时出发相向而行,几小时相遇?如果同向而行,?#29366;?#22312;前,乙船在后,几小时乙船追上?#29366;?br />
【思路导航?#30475;?#39064;为水中相遇问题和追及问题,?#20303;?#20057;两船一个顺流,一个逆流,那么它们的速度和为?#20303;?#20057;两只小船在静水中速度的和,而水中的追击问题不论两船同向逆流而上还是顺流而下速度差均为?#20303;?#20057;两只小船在静水中速度的差,因此用路程÷速度和=相遇时间,路程÷速度差=追及时间
解?#21512;?#36935;时间:168÷(12+16)=6(小时)
    追及时间:168÷(16-12)=42(小时)
答:6小时相遇;42小时乙船追上?#29366;?br />
3.        一艘轮船从上游的甲港到下游的乙港,两港间的水路长72千米。已知这艘船顺水4小时能行48千米,逆水6小时能行48千米。开船时,一个小朋友放了个木制玩具在水里,船到乙港时玩具离乙港还有多少千米?
【思路导航】根据条件,先求出轮船的顺水速度和逆水速度,然后很容易求出船速和水速,此时的水速也就是玩具运动的速度,轮船和玩具都是顺流而下,它们每小时相距一个速度差,再用全长72千米除以轮船的顺行速度,得出轮船的顺行时间,用顺行时间乘以速度差即可。
解:顺水速度:48÷4=12(千米/小时)       逆水速度: 48÷6=8(千米/小时)
船速:(12+8)÷2=10(千米/小时)      水速:(12-8)÷2=2(千米/小时)
船到甲港的时间:72÷(10+2)=6(小时)
玩具离乙港的距离:6×(10+2-2)=60(千米)
答:船到乙港时玩具离乙港还有60千米。
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21#
 楼主| 发表于 2012-11-5 01:05:22 | 只看该作者

(十二) 奇数与偶数
能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的叫做奇数。奇数平常?#27493;?#20570;单数,偶数?#27493;?#20570;双数。0?#24425;?#20598;数。所以。一个整数不是奇数,就是偶数。
奇数和偶数的运算有如下一些性?#21097;?br /> 1.偶数±偶数=偶数?#40644;?#25968;±奇数=偶数;偶数±奇数=奇数。
2.奇数×奇数=奇数?#40644;?#25968;×偶数=偶数;偶数×偶数=偶数。
3.如果一个偶数能被奇数整除,那么,商必是偶数。偶数除以,如果能整除,商可能是奇数,?#37096;?#33021;是偶数。奇数不能被偶数整除。
4.偶数的平方能被4整除,奇数的平方被4除余1。

一、例题与方法指导

例1.        用0~9这十个数码组成五个两位数,每个数字只用一次,要求它们的和是奇数,那么这五个两位数的和最大是多少?
思路导航:
有时题目的要求比较多,?#19978;?#32771;虑满足部分要求,然后再调整,使最后结果达到全部要求。
  这道题的几个要求中,满足“和最大”是最容易的。暂时不考虑这五个数的和是奇数的要求。
  要使组成的五个两位数的和最大,应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上,?#35789;?#20301;上放5,6,7,8,9,而个位上放0,1,2,3,4。根据奇数的定义,这样组成的五个两位数中,有两个是奇数,即个位是1和3的两个两位数。
  要满足这五个两位数的和是奇数,根据奇、偶数相加减的运算规律,这五个数中应有奇数个奇数。现有两个奇数,即个位数是1,3的两位数。所以五个数的和是偶数,不合要求,必须调整。调整的方法是?#25442;?#21313;位与个位上的数字。要使五个数有奇数个奇数,并且五个数的和尽可能最大,只要将个位和十位上的一个奇数与一个偶数?#25442;唬?#24182;且?#25442;?#30340;两个的数码之差尽可能小,由此得到?#25442;?与4的位置。满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是4,6,7,8,9,个位上的数码是0,1,2,3,5,所求这五个数的和是(4+6+7+8+9)×10+(0+1+2+3+5)=351。
  例2.        7只杯子全部杯口朝上放在桌子上,每次翻转其中的2只杯子。能否经过若干次翻转,使得7只杯子全部杯口朝下?
思路导航:
盲目的试验,可能总也找不到要领。如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性,就会发现问题所在。一开始杯口朝上的杯子有7只,是奇数;第一次翻转后,杯口朝上的变为5只,仍是奇数;再继续翻转,因为只能翻转两只杯子,即只有两只杯子改变了上、下方向,所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。类?#39057;?#20998;析可以得到,无论翻转多少次,杯口朝上的杯子数永远是奇数,不可能是偶数0。也就是说,不可能使7只杯子全部杯口朝下。

  例3.        有m(m≥2)只杯子全部口朝下放在桌子上,每次翻转其中的(m-1)只杯子。经过若干次翻转,能使杯口全部朝?#19979;穡?br /> 思路导航:
当m是奇数时,(m-1)是偶数。由例2的分析知,如果每次翻转偶数只杯子,那么无论经过多少次翻转,杯口朝上(下)的杯子数的奇偶?#22278;换?#25913;变。一开始m只杯子全部杯口朝下,即杯口朝下的杯子数是奇数,每次翻转(m-1)即偶数只杯子。无论翻转多少次,杯口朝下的杯子数永远是奇数,不可能全部朝上。
  当m是偶数时,(m-1)是奇数。为了直观,我们先从m= 4的情形入手观察,在下表中用∪表示杯口朝上,∩表示杯口朝下,每次翻转3只杯子,保持不动的杯子用*号标记。翻转情况如下:
 
  由上表看出,只要翻转4次,并且?#26469;?#20445;持第1,2,3,4只杯子不动,就可达到要求。一般来说,对于一只杯子,要改变它的初始状态,需要翻奇数次。对于m只杯子,当m是偶数时,因为(m-1)是奇数,所以每只杯子翻转(m-1)次,就可使全部杯子改变状态。要做到这一点,只需要翻转m次,并且?#26469;?#20445;持第1,2,…,m只杯子不动,这样在m次翻转中,每只杯子都有一次没有翻转,即都翻转了(m-1)次。
综上所述:m只杯子放在桌子上,每次翻转(m-1)只。当m是奇数时,无论翻转多少次,m只杯子不可能全部改变初始状态;当m是偶数时,翻转m次,可以使m只杯子全部改变初始状态。

  例4.        一本论文集编入15篇文章,这些文章排版后的页数分别是1,2,3,…,15页。如果将这些文章按某种次序装订成册,并统一编上页码,那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇?
思路导航:
可以先研究排版一本书,各篇文章页数是奇数或偶数时的规律。一篇有奇数页的文章,它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相同的,即排版奇数页的文章,第一面是奇数页码,最后一面?#24425;?#22855;数页码,而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶数页码上。一篇有偶数页的文章,它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相异的,即排版偶数页的文章,第一面是奇(?#36857;?#25968;页码,最后一面应是?#36857;?#22855;)数页码,而紧接的另一篇文章的第一面又是排在奇(?#36857;?#25968;页码上。
  以上?#24471;?#26412;题的解答主要是根据奇偶特点来处理。
题目要求第一面排在奇数页码的文章尽量多。首先考虑有偶数页的文章,只要这样的第一篇文章的第一面排在奇数页码上(如第1页),那么?#24188;?#27599;一篇有偶数页的文章都会是第一面排在奇数页码上,共有7篇这样的文章。然后考虑有奇数页的文章,第一篇的第一面排在奇数页码上,第二篇的第一面就会排在偶数页码上,第三篇的第一面排在奇数页码上,如此等等。在8篇奇数页的文章中,有4篇的第一面排在奇数页码上。因此最多有7+4=11(篇)文章的第一面排在奇数页码上。

二、巩固训练
1.        有大、小两个盒子,其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子,小盒内装有足够多的黑棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子,若摸出的两枚棋子同色,则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内;若摸出的两枚棋子异色,则把其中白棋子放回大盒内。问:从大盒内摸了1999次棋子后,大盒内还剩?#35813;?#26827;子?它们都是什么颜色?
解答       
大盒内装有黑、白棋子共1001+1000=2001(枚)。
因为每?#21619;?#26159;摸出2枚棋子放回1枚棋子,所以每摸一次少1枚棋子,摸了1999次后,还剩2001-1999=2(枚)棋子。
从大盒内每次摸2枚棋子有以下两种情况:
(1)所摸到的两枚棋子是同颜色的。此时从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内。当所摸两枚棋子同是黑色,这时大盒内少了一枚黑棋子;当所摸两枚棋子同?#21069;?#33394;,这时大盒内多了一枚黑棋子。
(2)所摸到的两枚棋子是不同颜色的,即一黑一?#20303;?#36825;时要把拿出的白棋子放回到大盒,大盒内少了一枚黑棋子。
综合(1)(2),每摸一次,大盒内的黑棋?#24188;?#25968;不是少一枚就是多一枚,即改变了黑棋子数的奇偶性。原来大盒内有1000枚即偶数枚黑棋子,摸了1999次,即改变了1999次奇偶性后,还剩奇数枚黑棋子。因为大盒内只剩下2枚棋子,所以最后剩下的两枚棋子是一黑一?#20303;?br /> 2.        一串数排成一行:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…到这串数的第1000个数为止,共有多少个偶数?
  分析与解:首先分析这串数的组成规律和奇偶数情况。
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