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小學生五年級奧數名師專題講座輔導WORD免費下載

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15#
 樓主| 發表于 2012-11-5 01:04:53 | 只看該作者

(八) 不規則圖形面積計算(2)
不規則圖形的另外一種情況,就是由圓、扇形、弓形與三角形、正方形、長方形等規則圖形組合而成的,這是一類更為復雜的不規則圖形,為了計算它的面積,常常要變動圖形的位置或對圖形進行適當的分割、拼補、旋轉等手段使之轉化為規則圖形的和、差關系,同時還常要和“容斥原理”(即:集合A與集合B之間有:SA∪B=SA+Sb-SA∩B)合并使用才能解決。
一、例題與方法指導

例1        .        如右圖,在一個正方形內,以正方形的三條邊為直徑向內作三個半圓.求陰影部分的面積。



解法1:把上圖靠下邊的半圓換成(面積與它相等)右邊的半圓,得到右圖.這時,右圖中陰影部分與不含陰影部分的大小形狀完全一樣,因此它們的面積相等.所以上圖中陰影部分的面積等于正方形面積的一半。
解法2:將上半個“弧邊三角形”從中間切開,分別補貼在下半圓的上側邊上,如右圖所示.陰影部分的面積是正方形面積的一半。
解法3:將下面的半圓從中間切開,分別貼補在上面弧邊三角形的兩側,如右圖所示.陰影部分的面積是正方形的一半.
例2.        如右圖,正方形ABCD的邊長為4厘米,分別以B、D為圓心以4厘米為半徑在正方形內畫圓,求陰影部分面積。
解:由容斥原理   S陰影=S扇形ACB+S扇形ACD-S正方形ABCD

  

例3                如右圖,矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=4厘米,扇形ABE半徑AE=6厘米,扇形CBF的半CB=4厘米,求陰影部分的面積。
      





例4.        如右圖,直角三角形ABC中,AB是圓的直徑,且AB=20厘米,如果陰影(Ⅰ)的面積比陰影(Ⅱ)的面積大7平方厘米,求BC長。
分析 已知陰影(Ⅰ)比陰影(Ⅱ)的面積大7平方厘米,就是半圓面積比三角形ABC面積大7平方厘米;又知半圓直徑AB=20厘米,可以求出圓面積.半圓面積減去7平方厘米,就可求出三角形ABC的面積,進而求出三角形的底BC的長.
 




二、鞏固訓練
        1.        如右圖,兩個正方形邊長分別是10厘米和6厘米,求陰影部分的面積。
分析 陰影部分的面積,等于底為16、高為6的直角三角形面積與圖中(I)的面積之差。而(I)的面積等于邊長為6的正方形的面積減去 以6為半徑的圓的面積。




2.        如右圖,將直徑AB為3的半圓繞A逆時針旋轉60°,此時AB到達AC的位置,求陰影部分的面積(取π=3).
解:整個陰影部分被線段CD分為Ⅰ和Ⅱ兩部分,以AB為直徑的半圓被   弦AD分成兩部分,設其中AD右側的部分面積為S,由于弓形AD是兩個半圓的公共部分,去掉AD弓形后,兩個半圓的剩余部分面積相等.即Ⅱ=S,由于:
 



        3.        如右圖,ABCD是正方形,且FA=AD=DE=1,求陰影部分的面積.

  
  



4.        如下頁右上圖,ABC是等腰直角三角形,D是半圓周上的中點,BC是半圓的直徑,且AB=BC=10,求陰影部分面積(π取3.14)。
解:∵三角形ABC是等腰直角三角形,以AC為對角線再作一個全等的等腰直角三角形ACE,則ABCE為正方形(利用對稱性質)。


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16#
 樓主| 發表于 2012-11-5 01:04:57 | 只看該作者


總結:對于不規則圖形面積的計算問題一般將它轉化為若干基本規則圖形的組合,分析整體與部分的和、差關系,問題便得到解決.常用的基本方法有:
一、        相加法:
這種方法是將不規則圖形分解轉化成幾個基本規則圖形,分別計算它們的面積,然后相加求出整個圖形的面積.例如,右圖中,要求整個圖形的面積,只要先求出上面半圓的面積,再求出下面正方形的面積,然后把它們相加就可以了.
二、        相減法:
這種方法是將所求的不規則圖形的面積看成是若干個基本規則圖形的面積之差.例如,右圖,若求陰影部分的面積,只需先求出正方形面積再減去里面圓的面積即可.
三、        直接求法:
這種方法是根據已知條件,從整體出發直接求出不規則圖形面積.如下頁右上圖,欲求陰影部分的面積,通過分析發現它就是一個底是2,高為4的三角形,面積可直接求出來。  
四、        重新組合法:
這種方法是將不規則圖形拆開,根據具體情況和計算上的需要,重新組合成一個新的圖形,設法求出這個新圖形面積即可.例如,欲求右圖中陰影部分面積,可以把它拆開使陰影部分分布在正方形的4個角處,這時采用相減法就可求出其面積了.

五、        輔助線法:
這種方法是根據具體情況在圖形中添一條或若干條輔助線,使不規則圖形轉化成若干個基本規則圖形,然后再采用相加、相減法解決即可.如右圖,求兩個正方形中陰影部分的面積.此題雖然可以用相減法解決,但不如添加一條輔助線后用直接法作更簡便.
六、        割補法:
這種方法是把原圖形的一部分切割下來補在圖形中的另一部分使之成為基本規則圖形,從而使問題得到解決.例如,如右圖,欲求陰影部分的面積,只需把右邊弓形切割下來補在左邊,這樣整個陰影部分面積恰是正方形面積的一半.
七、        平移法:
這種方法是將圖形中某一部分切割下來平行移動到一恰當位置,使之組合成一個新的基本規則圖形,便于求出面積.例如,如右圖,欲求陰影部分面積,可先沿中間切開把左邊正方形內的陰影部分平行移到右邊正方形內,這樣整個陰影部分恰是一個正方形。
八、        旋轉法:
這種方法是將圖形中某一部分切割下來之后,使之沿某一點或某一軸旋轉一定角度貼補在另一圖形的一側,從而組合成一個新的基本規則的圖形,便于求出面積.例如,欲求圖(1)中陰影部分的面積,可將左半圖形繞B點逆時針方向旋轉180°,使A與C重合,從而構成如右圖(2)的樣子,此時陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積.
九、        對稱添補法:
這種方法是作出原圖形的對稱圖形,從而得到一個新的基本規則圖形.原來圖形面積就是這個新圖形面積的一半.例如,欲求右圖中陰影部分的面積,沿AB在原圖下方作關于AB為對稱軸的對稱扇形ABD.弓形CBD的面積的一半就是所求陰影部分的面積。
十、重疊法:
這種方法是將所求的圖形看成是兩個或兩個以上圖形的重疊部分,然后運用“容斥原理”(SA∪B=SA+SB-SA∩B)解決。例如,欲求右圖中陰影部分的面積,可先求兩個扇形面積的和,減去正方形面積,因為陰影部分的面積恰好是兩個扇形重疊的部分.


(九) 邏輯推理

曾經愛因斯坦出過一道測試題, 他說世界上有98%的人回答不出!!讓我們一起來看看是什么題呢。
在一條街上有5座顏色不同的房子,住著5個不同國家的人,他們抽著5種不同的煙,喝著5種不同的飲料,養著5種不同的寵物。有下面15個已知條件,求解。
1、英國人住紅色房子。
2、瑞典人養狗。
3、丹麥人喝茶。
4、綠色房子在白色房子左面。
5、綠色房子主人喝咖啡。
6、抽Pall Mall香煙的人養鳥。
7、黃色房子主人抽Dunhill香煙。
8、住在中間房子的人喝牛奶。
9、挪威人住第一間房。
10、抽Blends香煙的人住在養貓的人隔壁。
11、養馬的人住抽Dunhill香煙的人隔壁。
12、抽Blue Master的人喝啤酒。
13、德國人抽Prince香煙。
14、挪威人住藍色房子隔壁。
15、抽Blends香煙的人有一個喝水的鄰居。
問:哪個國家的人養魚?
這道題為什么會難倒這么多人呢,首先,我們就來研究一下關于他的最基本的邏輯問題吧。
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17#
 樓主| 發表于 2012-11-5 01:05:02 | 只看該作者

一、例題與方法指導

        例1.        某地質學院的學生對一種礦石進行觀察和鑒別:
  甲判斷:不是鐵,也不是銅。
  乙判斷:不是鐵,而是錫。
  丙判斷:不是錫,而是鐵。
經化驗證明:有一個人的判斷完全正確,有一個人說對了一半,而另一個人完全說錯了。你知道三人中誰是對的,誰是錯的,誰是只對一半的嗎?
思路導航:
丙全說對了,甲說對了一半,乙全說錯了。先設甲全對,推出矛盾后,再設乙全對,又推出矛盾,則說明丙全對,甲說對了一半,乙全說錯了。

        例2.        數學競賽后,小明、小華和小強各獲得一枚獎牌,其中一人得金牌,一人得銀牌,一人得銅牌。老師猜測:“小明得金牌,小華不得金牌,小強不得銅牌。”結果老師只猜對了一個,那么誰得金牌,誰得銀牌,誰得銅牌?
思路導航:
小華得金牌,小強得銀牌,小明得銅牌。
(1)若小明得金牌,小華一定“不得金牌”,這與“老師只猜對了一個”相矛盾,不合題意。
(2)若小華得金牌,那么“小明得金牌”與“小華不得金牌”這兩句都是錯的,那么“小強不得銅牌”應是正確的,那么小強得銀牌,小明得銅牌。

        例3.        一位法官在審理一起盜竊案中,對涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁進行了審問。四人分別供述如下:
  甲說:“罪犯在乙、丙、丁三人之中。”
  乙說:“我沒有做案,是丙偷的。”
  丙說:“在甲和丁中間有一人是罪犯。”
  丁說:“乙說的是事實。”
  經過充分的調查,證實這四人中有兩人說了真話,另外兩人說的是假話。
  同學們,請你做一名公正的法官,對此案進行裁決,確認誰是罪犯?
思路導航:
乙和丁是盜竊犯。如果甲說的是假話,那么剩下三人中有一人說的也是假話,另外兩人說的是真話。可是乙和丁兩人的觀點一致,所以在剩下的三人中只能是丙說了假話,乙和丁說的都是真話。即“丙是盜竊犯”。這樣一來,甲說的也是對的,不是假話。這樣,前后就產生了矛盾。所以甲說的不可能是假話,只能是真話。同理,剩下的三人中只能是丙說真話。乙和丁說的是假話,即丙不是罪犯,乙是罪犯。又由甲所述為真話,即甲不是罪犯。再由丙所述為真話,即丁是罪犯。


二、鞏固訓練

1.        小王、小張、小李三人在一起,其中一位是工人,一位是戰士,一位是大學生。現在知道:小李比戰士年齡大,小王和大學生不同歲,大學生比小張年齡小。那么三人各是什么職業?
解:小李是大學生,小王是戰士,小張是工人.

        2.        甲、乙、丙分別是來自中國、日本和英國的小朋友。甲不會英文,乙不懂日語卻與英國小朋友熱烈交談。問:甲、乙、丙分別是哪國的小朋友?
解:甲是日本人,乙是中國人,丙是英國人。

        3.        徐、王、陳、趙四位師傅分別是工廠的木工、車工、電工和鉗工,他們都是象棋迷。
  (1)車工只和電工下棋;
  (2)王、陳兩位師傅經常與木工下棋;
  (3)徐師傅與電工下棋互有勝負;
  (4)陳師傅比鉗工下得好。
  問:徐、王、陳、趙四位師傅各從事什么工種?


徐是車工,王是鉗工,陳是電工,趙是木工。
  
解:提示:由(2)(3)(1)可畫出右表:




(十) 牛吃草

  牛吃草問題又稱為消長問題或牛頓牧場,是17世紀英國偉大的科學家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設草的生長速度固定不變,不同頭數的牛吃光同一片草地所需的天數各不相同,求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。

  由于吃的天數不同,草又是天天在生長的,所以草的存量隨牛吃的天數不斷地變化。解決牛吃草問題重點是要想辦法從變化中找到不變量。牧場上原有的草是不變的,新長的草雖然在變化,但由于是勻速生長,所以每天新長出的草量應該是不變的。這類問題常用到四個基本公式,分別是:

(1)草的生長速度=(對應的牛頭數×吃的較多天數-相應的牛頭數×吃的較少天數)÷(吃的較多天數-吃的較少天數);
(2)原有草量=牛頭數×吃的天數-草的生長速度×吃的天數;
        (3)吃的天數=原有草量÷(牛頭數-草的生長速度);
        (4)牛頭數=原有草量÷吃的天數+草的生長速度。

這四個公式是解決牛吃草問題的基礎。一般設每頭牛每天吃草量不變,設為"1",解題關鍵是弄清楚已知條件,進行對比分析,從而求出每日新長草的數量,再求出草地里原有草的數量,進而解答題總所求的問題。
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18#
 樓主| 發表于 2012-11-5 01:05:07 | 只看該作者

一、例題與方法指導
例1.       
青青一牧場
青青一牧場,牧草喂牛羊;放牛二十七,六周全吃光。
改養廿三只,九周走他方;若養二十一,可作幾周糧?
(注:“廿”的讀音與“念”相同。“廿”即二十之意。)

【解說】這道詩題,是依據聞名于世界的“牛頓牛吃草問題”編寫的。牛頓是英國人,他的種種事跡早已聞名于世,這里不贅述。他曾寫過一本書,名叫《普遍的算術》,“牛吃草問題”就編寫在這本書中。書中的這道題目翻譯過來是:

  一牧場長滿青草,27頭牛6個星期可以吃完,或者23頭牛9個星期可以吃完。若是21頭牛,要幾個星期才可以吃完?(注:牧場的草是不斷生長的。)

解答這一問題,首先必須注意牧場里的草是不斷生長增多的,而并非一個固定不變的數值。這雖然大大地增加了解題的難度,但我們不要害怕。只要依據下面的思路,就一定會找到問題的答案。

思路導航:
  因為27頭6星期草料=(27×6=)162頭一星期草料
  23頭9星期草料=(23×9=)207頭一星期草料
而這一牧場6星期吃完與9星期吃完,草料數量要相差207—162=45(頭牛吃一星期的草料)
這多出的草料,便是  9—6=3(個星期之內新長出的草料)
所以,一個星期新長出的草料便是
45÷3=15(頭牛吃一星期的草料)
進而可知,這牧場最初的草料數量就是
(27—15)×6=72(頭牛吃一個星期的草料)
  現在,有21頭牛來吃這牧場里的草,其中必須拿出15頭牛來吃每個星期新長出來的草料,這就只剩下:21-15=6(頭牛)
  去吃最初已經長成的草料了。所以,21頭牛來吃這牧場的草料,全部吃光所需要的時間就是
  72÷6=12(個星期)
  列成綜合算式,就是:
  [27-(23×9—27×6)÷(9—6)]×6÷[21-(23×9—27×6)÷(9—6)]
  =[27-45÷3]×6÷[21-45÷3]
  =12×6÷6
  =12(個星期)

答:21頭牛要12個星期才可以吃完。


例2.        一個牧場長滿青草,牛在吃草而草又在不斷生長,已知牛27頭,6天把草吃盡,同樣一片牧場,牛23頭,9天把草吃盡。如果有牛21頭,幾天能把草吃盡?
摘錄條件:
  27頭    6天    原有草+6天生長草
  23頭    9天    原有草+9天生長草
  21頭    ?天   原有草+?天生長草
  解答這類問題關鍵是要抓住牧場青草總量的變化。設1頭牛1天吃的草為"1",由條件可知,前后兩次青草的問題相差為23×9-27×6=45。為什么會多出這45呢?這是第二次比第一次多的那(9-6)=3天生長出來的,所以每天生長的青草為45÷3=15
  現從另一個角度去理解,這個牧場每天生長的青草正好可以滿足15頭牛吃。由此,我們可以把每次來吃草的牛分為兩組,一組是抽出的15頭牛來吃當天長出的青草,另一組來吃是原來牧場上的青草,那么在這批牛開始吃草之前,牧場上有多少青草呢?
  (27-15)×6=72
  那么:第一次吃草量27×6=162第二次吃草量23×9=207
  每天生長草量45÷3=15
  原有草量(27-15)×6=72或162-15×6=72
21頭牛分兩組,15頭去吃生長的草,其余6頭去吃原有的草那么72÷6=12(天)

        例3.        一水庫原有存水量一定,河水每天入庫。5臺抽水機連續20天抽干,6臺同樣的抽水機連續15天可抽干,若要6天抽干,要多少臺同樣的抽水機?
  摘錄條件:
  5臺    20天    原有水+20天入庫量
  6臺    15天    原有水+15天入庫量
?臺   6天     原有水+6天入庫量
設1臺1天抽水量為"1",第一次總量為5×20=100,第二次總量為6×15=90
每天入庫量(100-90)÷(20-15)=2
20天入庫2×20=40,原有水100-40=60
60+2×6=7272÷6=12(臺)
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19#
 樓主| 發表于 2012-11-5 01:05:11 | 只看該作者

二、鞏固訓練
1、某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊了,每分鐘來的旅客一樣多,從開始檢票到隊伍消失(還有人在接受檢票),若開5個檢票口,要30分鐘,開6個檢票口,要20分鐘。如果要在10分鐘消失,要開多少個檢票口?
解:把每個檢票口一分鐘檢票量作為1份,則每分鐘來的旅客為:
﹙5×30-6×20﹚÷﹙30-20﹚=3份        開始檢票前有旅客:5×30-30×3=60份
所以要10分鐘剪完票,需要看開﹙60+3×10﹚÷10=9個
2、畫展9點開門,但早有人來排隊入場,從第一個觀眾來到時起,若每分鐘來的觀眾一樣多,如果開3個入場口,9點9分就不再有人排隊;如果開5個入場口,9點5分就沒有人排隊。求第一個觀眾到達的時間。
解:設每一個入場口每分鐘通過“1份”人。
每分鐘到來的人有﹙27-25﹚÷﹙9-5﹚=0.5份人
開門前已經有27-0.5×9=22.5份人
這些人來到畫展,用時間22.5÷0.5=45(分)
第一個觀眾到達的時間為9點-45分=8點15分
3、由于天氣逐漸變冷,牧場上的草每天勻速減少。經過計算,牧場上的草可供20頭牛吃5天,或者供16頭牛吃6天,那么這片牧場上的草可供11頭牛吃幾天?
解:20頭牛5天吃草20×5=100(份),16頭牛6天吃草16×6=96(份)
   青草每天減少(100-96)÷﹙6-5﹚=4(份)      牧場原有草:100+4×5=120(份)
   每天減少4份草,相當于4頭牛吃掉,所以120份草可供11+4=15頭牛吃8天。
4、由于天氣逐漸冷起來,牧場上的草不僅不長大,反而以固定的速度在減少。如果牧場上的草可供20頭牛吃5天,或者供15頭牛吃6天,那么可供多少頭牛吃10天?
解:青草每天減少(20×5-15×6)÷﹙6-5﹚=10(份)
    牧場原有草:100+10×5=150(份)              150份草10天可供150÷10=15(頭)
但每天減少10份,相當于10頭牛吃掉,所以只能供牛:15-15(頭)

三、拓展提升
1.        自動扶梯以均勻的速度由上往下行駛,小明和小紅要從扶梯上樓,小明每分鐘走20梯級,小紅每分鐘走14梯級,結果小明4分鐘到達樓上,小紅用5分鐘到達樓上,求扶梯共有多少級?
  解:電梯每分鐘走20×4-14×5=10(級)
所以扶梯共有(20+10)×4=120(級)

2.        兩只蝸牛由于耐不住陽光的照射,從井頂走向井底,白天往下走,一只蝸牛一個白天能走20分米,另一只只能走15分米;黑夜里往下滑,兩只蝸牛下滑速度相同,結果一只蝸牛5晝夜到達井底,另一只卻恰好用了6晝夜。問井深是多少?
解:蝸牛黑夜下滑的速度為﹙20×5-15×6﹚÷﹙6-5﹚=10(分米)。
  井深:﹙20+10﹚×5=150(分米)

3.        有三塊草地,面積分別是5公頃,15公頃和24公頃。草地上的草一樣厚而且長得一樣快。第一塊草地可供10頭牛吃30天;第二塊草地可供28頭牛吃45天。那么第三塊草地可供多少頭牛吃80天?
解:一頭牛一天吃草量為1份
    10×30=300                      ………………5公頃草量+5公頃30天生長量
    300÷5=60                       ………………1公頃草量+1公頃30天生長量
    28×45=1260                     ………………15公頃草量+15公頃45天生長量
    1260÷15=84                     ………………1公頃草量+1公頃45天生長量
﹙84-60﹚÷﹙45-30﹚=1.6         ………………1公頃1天生長量
1公頃草地原有草:60-1.6×30=12
24公頃草地原有草夠多少頭牛吃80天:12×24÷80=3.6(頭)
24公頃草地每天生長的草夠多少頭牛吃:1.6×24=38.4(頭)
共3.6+38.4=42頭

4.        12頭牛28天可以吃完10公畝牧場上全部牧草,21頭牛63天可以吃完30公畝牧場上全部牧草。多少頭牛126天可以吃完72公畝牧場上全部牧草(每公畝牧場上原有草量相等,且每公畝牧場上每天生長草量相等)?
解:一公畝一天新生長草量可供多少頭牛吃一天?
﹙63×21÷30-12×28÷10﹚÷﹙63-28﹚=0.3(頭)
一公畝原有牧草可供多少頭牛吃一天?
12×28÷10-0.3×28=25.2(頭)
72公畝的牧草可供多少頭牛吃126天?
72×25.2÷126+72×0.3=36(頭)



(十一) 流水行船

船在流水中航行的問題叫做行船問題。行船問題是行程問題中比較特殊的類型,它除了具備行程問題中路程、速度和時間之間的基本數量關系,同時還涉及到水流的問題,因船在江、河里航行時,除了它本身的前進速度外,還會受到流水的順推或逆阻。
行船問題中常用的概念有:船速、水速、順水速度和逆水速度。船在靜水中航行的速度叫船速;江河水流動的速度叫水速;船從上游向下游順水而行的速度叫順水速度;船從下游往上游逆水而行的速度叫逆水速度。
除了行程問題中路程、速度和時間之間的基本數量關系在這里要反復用到外,行船問題還有幾個基本公式要用到。
順水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
如果已知順水速度和逆水速度,由和差問題的解題方法,我們可以求出船速和水速。
船速=(順水速度+逆水速度)÷2
水速=(順水速度-逆水速度)÷2
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20#
 樓主| 發表于 2012-11-5 01:05:16 | 只看該作者

一、例題與方法指導
例1.        船在靜水中的速度為每小時13千米,水流的速度為每小時3千米,船從甲港順流而下到達乙港用了15小時,從乙港返回甲港需要多少小時?
思路導航:
根據條件,用船在靜水中的速度+水速=順水速度,知道了順水速度和順水時間,可以求出甲乙兩港之間的路程。因為返回時是逆水航行,用船在靜水中的速度-水速=逆水速度,再用甲乙兩港之間的全長除以逆水速度即可求出乙港返回甲港所需時間。
解:        順水速度:13+3=16(千米/小時)
            逆水速度:13-3=10(千米/小時)
                全程:16×15=240(千米)
返回所需時間:240÷10=20(千米/小時)
答:從乙港返回甲港需要24小時。

例2.        一艘小船往返于一段長120千米的航道之間,上行時行了15小時,下行時行了12小時,求船在靜水中航行的速度與水速各是多少?
思路導航:
求船在靜水中航行的速度是求船速,用路程除以上行的時間就是逆行速度,路程除以下行時間就是順水速度。順水速度與逆水速度的和除以2就是船速,順水速度與逆水速度的差除以2就是水速。
解:逆水速度:120÷15=8(千米/小時)
順水速度:120÷12=10(千米/小時)
船速:(10+8)÷2=9(千米/小時)
水速:(10--8)÷2=1(千米/小時)
答:船在靜水中航行的速度是每小時9千米,水速是每小時1千米。

例3.        甲、 乙兩港相距200千米。一艘輪船從甲港順流而下10小時到達乙港,已知船速是水速的9倍。這艘輪船從乙港返回甲港用多少個小時?
思路導航:
根據甲、乙兩港的距離和從甲港到乙港的時間可以求出順水速度是每小時200÷10=20(千米/小時),順水速度是船速與水速的和,已知船速是水速的9倍,可以求出水速是20÷(1+9)=2(千米/小時),船速為2×9=18(千米/小時),逆水速度為18-2=16(千米/小時)
解:順水速度:200 ÷10=20(千米/小時)
        水速:20÷(1+9)=2(千米/小時)
        船速:2×9=18(千米/小時)
    逆水速度:18-2=16(千米/小時)
返回時間:200÷16=12.5(小時)
答:這艘輪船從乙港返回甲港用12.5個小時。

二、鞏固訓練
        1.        A、B兩港間相距360千米,一艘輪船往返兩港需35小時,逆流航行比順流航行多花了5小時。另有一艘機帆船,靜水中速度是每小時12千米,這艘機帆船往返兩港要多少小時?
【思路導航】先根據和差問題的解題思路,分別求出順行時間和逆行時間;再根據兩港相距360千米和輪船的順行時間、逆行時間求出輪船的順行速度和逆行速度;求出了順行速度和逆行速度就可以求出水流的速度;最后,根據兩港相距360千米和機帆船的船速、水速可求出機帆船順流航行和逆流航行的時間,兩者相加的和即是所求的問題。
解:順行時間:(35-5)÷2=15(小時)              逆行時間:35-15=20(小時)        
順水速度:360÷15 = 24(千米/小時)            逆水速度:360÷20=18(千米/小時)   
水速:(24-18)÷2=3(千米/小時)
    往返時間:360÷(12+3)+360÷(12-3)=64(小時)
答:這艘機帆船往返兩港要64小時。

2.        甲、乙兩只小船在靜水中速度分別為每小時12千米和每小時16千米,兩船同時從相距168千米的上、下游兩港同時出發相向而行,幾小時相遇?如果同向而行,甲船在前,乙船在后,幾小時乙船追上甲船?

【思路導航】此題為水中相遇問題和追及問題,甲、乙兩船一個順流,一個逆流,那么它們的速度和為甲、乙兩只小船在靜水中速度的和,而水中的追擊問題不論兩船同向逆流而上還是順流而下速度差均為甲、乙兩只小船在靜水中速度的差,因此用路程÷速度和=相遇時間,路程÷速度差=追及時間
解:相遇時間:168÷(12+16)=6(小時)
    追及時間:168÷(16-12)=42(小時)
答:6小時相遇;42小時乙船追上甲船。

3.        一艘輪船從上游的甲港到下游的乙港,兩港間的水路長72千米。已知這艘船順水4小時能行48千米,逆水6小時能行48千米。開船時,一個小朋友放了個木制玩具在水里,船到乙港時玩具離乙港還有多少千米?
【思路導航】根據條件,先求出輪船的順水速度和逆水速度,然后很容易求出船速和水速,此時的水速也就是玩具運動的速度,輪船和玩具都是順流而下,它們每小時相距一個速度差,再用全長72千米除以輪船的順行速度,得出輪船的順行時間,用順行時間乘以速度差即可。
解:順水速度:48÷4=12(千米/小時)       逆水速度: 48÷6=8(千米/小時)
船速:(12+8)÷2=10(千米/小時)      水速:(12-8)÷2=2(千米/小時)
船到甲港的時間:72÷(10+2)=6(小時)
玩具離乙港的距離:6×(10+2-2)=60(千米)
答:船到乙港時玩具離乙港還有60千米。
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21#
 樓主| 發表于 2012-11-5 01:05:22 | 只看該作者

(十二) 奇數與偶數
能被2整除的數叫做偶數,不能被2整除的叫做奇數。奇數平常也叫做單數,偶數也叫做雙數。0也是偶數。所以。一個整數不是奇數,就是偶數。
奇數和偶數的運算有如下一些性質:
1.偶數±偶數=偶數;奇數±奇數=偶數;偶數±奇數=奇數。
2.奇數×奇數=奇數;奇數×偶數=偶數;偶數×偶數=偶數。
3.如果一個偶數能被奇數整除,那么,商必是偶數。偶數除以,如果能整除,商可能是奇數,也可能是偶數。奇數不能被偶數整除。
4.偶數的平方能被4整除,奇數的平方被4除余1。

一、例題與方法指導

例1.        用0~9這十個數碼組成五個兩位數,每個數字只用一次,要求它們的和是奇數,那么這五個兩位數的和最大是多少?
思路導航:
有時題目的要求比較多,可先考慮滿足部分要求,然后再調整,使最后結果達到全部要求。
  這道題的幾個要求中,滿足“和最大”是最容易的。暫時不考慮這五個數的和是奇數的要求。
  要使組成的五個兩位數的和最大,應該把十個數碼中最大的五個分別放在十位上,即十位上放5,6,7,8,9,而個位上放0,1,2,3,4。根據奇數的定義,這樣組成的五個兩位數中,有兩個是奇數,即個位是1和3的兩個兩位數。
  要滿足這五個兩位數的和是奇數,根據奇、偶數相加減的運算規律,這五個數中應有奇數個奇數。現有兩個奇數,即個位數是1,3的兩位數。所以五個數的和是偶數,不合要求,必須調整。調整的方法是交換十位與個位上的數字。要使五個數有奇數個奇數,并且五個數的和盡可能最大,只要將個位和十位上的一個奇數與一個偶數交換,并且交換的兩個的數碼之差盡可能小,由此得到交換5與4的位置。滿足題設要求的五個兩位數的十位上的數碼是4,6,7,8,9,個位上的數碼是0,1,2,3,5,所求這五個數的和是(4+6+7+8+9)×10+(0+1+2+3+5)=351。
  例2.        7只杯子全部杯口朝上放在桌子上,每次翻轉其中的2只杯子。能否經過若干次翻轉,使得7只杯子全部杯口朝下?
思路導航:
盲目的試驗,可能總也找不到要領。如果我們分析一下每次翻轉后杯口朝上的杯子數的奇偶性,就會發現問題所在。一開始杯口朝上的杯子有7只,是奇數;第一次翻轉后,杯口朝上的變為5只,仍是奇數;再繼續翻轉,因為只能翻轉兩只杯子,即只有兩只杯子改變了上、下方向,所以杯口朝上的杯子數仍是奇數。類似的分析可以得到,無論翻轉多少次,杯口朝上的杯子數永遠是奇數,不可能是偶數0。也就是說,不可能使7只杯子全部杯口朝下。

  例3.        有m(m≥2)只杯子全部口朝下放在桌子上,每次翻轉其中的(m-1)只杯子。經過若干次翻轉,能使杯口全部朝上嗎?
思路導航:
當m是奇數時,(m-1)是偶數。由例2的分析知,如果每次翻轉偶數只杯子,那么無論經過多少次翻轉,杯口朝上(下)的杯子數的奇偶性不會改變。一開始m只杯子全部杯口朝下,即杯口朝下的杯子數是奇數,每次翻轉(m-1)即偶數只杯子。無論翻轉多少次,杯口朝下的杯子數永遠是奇數,不可能全部朝上。
  當m是偶數時,(m-1)是奇數。為了直觀,我們先從m= 4的情形入手觀察,在下表中用∪表示杯口朝上,∩表示杯口朝下,每次翻轉3只杯子,保持不動的杯子用*號標記。翻轉情況如下:
 
  由上表看出,只要翻轉4次,并且依次保持第1,2,3,4只杯子不動,就可達到要求。一般來說,對于一只杯子,要改變它的初始狀態,需要翻奇數次。對于m只杯子,當m是偶數時,因為(m-1)是奇數,所以每只杯子翻轉(m-1)次,就可使全部杯子改變狀態。要做到這一點,只需要翻轉m次,并且依次保持第1,2,…,m只杯子不動,這樣在m次翻轉中,每只杯子都有一次沒有翻轉,即都翻轉了(m-1)次。
綜上所述:m只杯子放在桌子上,每次翻轉(m-1)只。當m是奇數時,無論翻轉多少次,m只杯子不可能全部改變初始狀態;當m是偶數時,翻轉m次,可以使m只杯子全部改變初始狀態。

  例4.        一本論文集編入15篇文章,這些文章排版后的頁數分別是1,2,3,…,15頁。如果將這些文章按某種次序裝訂成冊,并統一編上頁碼,那么每篇文章的第一面是奇數頁碼的最多有幾篇?
思路導航:
可以先研究排版一本書,各篇文章頁數是奇數或偶數時的規律。一篇有奇數頁的文章,它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相同的,即排版奇數頁的文章,第一面是奇數頁碼,最后一面也是奇數頁碼,而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶數頁碼上。一篇有偶數頁的文章,它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相異的,即排版偶數頁的文章,第一面是奇(偶)數頁碼,最后一面應是偶(奇)數頁碼,而緊接的另一篇文章的第一面又是排在奇(偶)數頁碼上。
  以上說明本題的解答主要是根據奇偶特點來處理。
題目要求第一面排在奇數頁碼的文章盡量多。首先考慮有偶數頁的文章,只要這樣的第一篇文章的第一面排在奇數頁碼上(如第1頁),那么接著每一篇有偶數頁的文章都會是第一面排在奇數頁碼上,共有7篇這樣的文章。然后考慮有奇數頁的文章,第一篇的第一面排在奇數頁碼上,第二篇的第一面就會排在偶數頁碼上,第三篇的第一面排在奇數頁碼上,如此等等。在8篇奇數頁的文章中,有4篇的第一面排在奇數頁碼上。因此最多有7+4=11(篇)文章的第一面排在奇數頁碼上。

二、鞏固訓練
1.        有大、小兩個盒子,其中大盒內裝1001枚白棋子和1000枚同樣大小的黑棋子,小盒內裝有足夠多的黑棋子。阿花每次從大盒內隨意摸出兩枚棋子,若摸出的兩枚棋子同色,則從小盒內取一枚黑棋子放入大盒內;若摸出的兩枚棋子異色,則把其中白棋子放回大盒內。問:從大盒內摸了1999次棋子后,大盒內還剩幾枚棋子?它們都是什么顏色?
解答       
大盒內裝有黑、白棋子共1001+1000=2001(枚)。
因為每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子,所以每摸一次少1枚棋子,摸了1999次后,還剩2001-1999=2(枚)棋子。
從大盒內每次摸2枚棋子有以下兩種情況:
(1)所摸到的兩枚棋子是同顏色的。此時從小盒內取一枚黑棋子放入大盒內。當所摸兩枚棋子同是黑色,這時大盒內少了一枚黑棋子;當所摸兩枚棋子同是白色,這時大盒內多了一枚黑棋子。
(2)所摸到的兩枚棋子是不同顏色的,即一黑一白。這時要把拿出的白棋子放回到大盒,大盒內少了一枚黑棋子。
綜合(1)(2),每摸一次,大盒內的黑棋子總數不是少一枚就是多一枚,即改變了黑棋子數的奇偶性。原來大盒內有1000枚即偶數枚黑棋子,摸了1999次,即改變了1999次奇偶性后,還剩奇數枚黑棋子。因為大盒內只剩下2枚棋子,所以最后剩下的兩枚棋子是一黑一白。
2.        一串數排成一行:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…到這串數的第1000個數為止,共有多少個偶數?
  分析與解:首先分析這串數的組成規律和奇偶數情況。
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