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樓主
發表于 2012-11-5 01:03:25 | 只看該作者 回帖獎勵 |倒序瀏覽 |閱讀模式
目錄
目錄 - 1 -
(一) 數的整除 - 2 -
(二) 數字謎 - 6 -
① 橫式字謎 - 6 -
②             豎式字謎 - 8 -
(三) 定義新運算 - 11 -
(四) 行程問題 - 15 -
① 追擊及遇問題 - 15 -
② 火車過橋 - 19 -
(五) 列方程解應用題 - 22 -
(六) 抽屜原理 - 27 -
(七) 不規則圖形面積計算(1) - 30 -
(八) 不規則圖形面積計算(2) - 34 -
(九) 邏輯推理 - 39 -
(十) 牛吃草 - 41 -
(十一) 流水行船 - 45 -
(十二) 奇數與偶數 - 48 -
(十三) 周期性問題 - 52 -
(十四) 植樹問題 - 56 -
(十五) 有趣的樹陣圖 - 59 -
(十六) 有趣的樹陣圖練習 - 64 -

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 樓主| 發表于 2012-11-5 01:03:42 | 只看該作者
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 樓主| 發表于 2012-11-5 01:03:52 | 只看該作者


(一) 數的整除
如果整除a除以不為零數b,所得的商為整數而余數為0,我們就說a能被b整除,或叫b能整除a。如果a能被b整除,那么,b叫做a的約數,a叫做b的倍數。

數的整除的特征:
(1)        能被2整除的數的特征:如果一個整數的個位數字是2、4、6、8、0,那么這個整數一定能被2整除。
(2)        能被3(或9)整除的數的特征:如果一個整數的各個數字之和能被3(或9)整除,那么這個整數一定能被3(或9)整除。
(3)        能被4(或25)整除的數的特征:如果一個整數的末兩位數能被4(或25)整除,那么這個數就一定能被4(或25)整除。
(4)        能被5整除的數的特征:如果一個整數的個位數字是0或5,那么這個整數一定能被5整除。
(5)        能被6整除的數的特征:如果一個整數能被2整除,又能被3整除,那么這個數就一定能被6整除。
(6)        能被7(或11或13)整除的數的特征:一個整數分成兩個數,末三位為一個數,其余各位為另一個數,如果這兩個數之差是0或是7(或11或13)的倍數,這個數就能被7(或11或13)整除。
(7)        能被8(或125)整除的數的特征:如果一個整數的末三位數能被8(或125)整除,那么這個數就一定能被8(或125)整除。
(8)        能被11整除的數的特征:如果一個整數的奇數位數字之和與偶數位數字之和的差(大減小)能被11整除,那么它必能被11整除。


一、例題與方法指導
例1.         一個六位數23□56□是88的倍數,這個數除以88所得的商是_____或_____.
思路導航:
一個數如果是88的倍數,這個數必然既是8的倍數,又是11的倍數.根據8的倍數,它的末三位數肯定也是8的倍數,從而可知這個六位數個位上的數是0或8.而11的倍數奇偶位上數字和的差應是0或11的倍數,從已知的四個數看,這個六位數奇偶位上數字的和是相等的,要使奇偶位上數字和差為0,兩個方框內填入的數字是相同的,因此這個六位數有兩種可能
23 0 56 0 或23 8 56 8
又 230560 88=2620
   238568 88=2711
所以,本題的答案是2620或2711.

例2.         123456789□□,這個十一位數能被36整除,那么這個數的個位上的數最小是_____.
思路導航:
因為36=9 4,所以這個十一位數既能被9整除,又能被4整除.因為1+2+…+9=45,由能被9整除的數的特征,(可知□+□之和是0(0+0)、9(1+8,8+1,2+7,7+2,3+6,6+3,4+5,5+4)和18(9+9).再由能被4整除的數的特征:這個數的末尾兩位數是4的倍數,可知□□是00,04,…,36,…,72,…96.這樣,這個十一位數個位上有0,2,6三種可能性.
所以,這個數的個位上的數最小是0.

例3.         下面一個1983位數33…3□44…4中間漏寫了一個數字(方框),已
                    991個   991個
知這個多位數被7整除,那么中間方框內的數字是_____.
思路導航:
33…3□44…4
     991個    991個
=33…3 10993+3□4 10990+44…4
  990個                       990個   
因為111111能被7整除,所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要
                                           990個     990個
3□4能被7整除,原數即可被7整除.故得中間方框內的數字是6.

例4.         有三個連續的兩位數,它們的和也是兩位數,并且是11的倍數.這三個數是_____.
思路導航:
三個連續的兩位數其和必是3的倍數,已知其和是11的倍數,而3與11互質,所以和是33的倍數,能被33整除的兩位數只有3個,它們是33、66、99.所以有
當和為33時,三個數是10,11,12;
當和為66時,三個數是21,22,23;
當和為99時,三個數是32,33,34.
所以,答案為 10,11,12或21,22,23或32,33,34。

[注]“三個連續自然數的和必能被3整除”可證明如下:
設三個連續自然數為n,n+1,n+2,則
n+(n+1)+(n+2)
=3n+3
=3(n+1)
所以, 能被3整除.


二、鞏固訓練
1.        有這樣的兩位數,它的兩個數字之和能被4整除,而且比這個兩位數大1的數,它的兩個數字之和也能被4整除.所有這樣的兩位數的和是____.




2.        一個小于200的自然數,它的每位數字都是奇數,并且它是兩個兩位數的乘積,那么這個自然數是_____.




3.        任取一個四位數乘3456,用A表示其積的各位數字之和,用B表示A的各位數字之和,C表示B的各位數字之和,那么C是_____.




4.        有0、1、4、7、9五個數字,從中選出四個數字組成不同的四位數,如果把其中能被3整除的四位數從小到大排列起來,第五個數的末位數字是_____.
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地板
 樓主| 發表于 2012-11-5 01:03:57 | 只看該作者

1.  118
符合條件的兩位數的兩個數字之和能被4整除,而且比這個兩位數大1的數,如果十位數不變,則個位增加1,其和便不能整除4,因此個位數一定是9,這種兩位數有:39、79.
所以,所求的和是39+79=118.   
         
2. 195
因為這個數可以分解為兩個兩位數的積,而且15 15=225>200,所以其中至少有1個因數小于15,而且這些因數均需是奇數,但11不可能符合條件,因為對于小于200的自然數凡11的倍數,具有隔位數字之和相等的特點,個位百位若是奇數,十位必是偶數.所以只需檢查13的倍數中小于200的三位數13 13=169不合要求,13 15=195適合要求.所以,答案應是195.

3.  9
根據題意,兩個四位數相乘其積的位數是七位數或八位數兩種可能.
因為3456=384 9,所以任何一個四位數乘3456,其積一定能被9整除,根據能被9整除的數的特征,可知其積的各位數字之和A也能被9整除,所以A有以下八種可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.從而A的各位數字之和B總是9,B的各位數字之和C也總是9.

4.  9
∵0+1+4+7+9=21能被3整除,∴從中去掉0或9選出的兩組四個數字組成的四位數能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9兩種選擇組成四位數,由小到大排列為:1047,1074,1407,1470,1479,1497….所以第五個數的末位數字是9.



三、拓展提升

1.        找出四個互不相同的自然數,使得對于其中任何兩個數,它們的和總可以被它們的差整除,如果要求這四個數中最大的數與最小的數的和盡可能的小,那么這四個數里中間兩個數的和是多少?
2.        只修改21475的某一位數字,就可知使修改后的數能被225整除,怎樣修改?
3.        500名士兵排成一列橫隊.第一次從左到右1、2、3、4、5(1至5)名報數;第二次反過來從右到左1、2、3、4、5、6(1至6)報數,既報1又報6的士兵有多少名?
4.        試問,能否將由1至100這100個自然數排列在圓周上,使得在任何5個相連的數中,都至少有兩個數可被3整除?如果回答:“可以”,則只要舉出一種排法;如果回答:“不能”,則需給出說明.

答案
        1.        如果最小的數是1,則和1一起能符合“和被差整除”這一要求的數只有2和3兩數,因此最小的數必須大于或等于2.我們先考察2、3、4、5這四個數,仍不符合要求,因為5+2=7,不能被5-2=3整除.再往下就是2、3、4、6,經試算,這四個數符合要求.所以,本題的答案是(3+4)=7.

        2.        因為225=25 9,要使修改后的數能被25整除,就要既能被25整除,又能被9整除,被25整除不成問題,末兩位數75不必修改,只要看前三個數字即可,根據某數的各位數字之和是9的倍數,則這個數能被9整除的特征,因為2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不難排出以下四種改法:把1改為0;把4改為3;把1改為9;把2改為1.

        3.        若將這500名士兵從右到左依次編號,則第一次報數時,編號能被5整除的士兵報1;第二次報數時,編號能被6整除的士兵報6,所以既報1又報6的士兵的編號既能被5整除又能被6整除,即能被30整除,在1至500這500個自然數中能被30整除的數共有16個,所以既報1又報6的士兵共有16名.

4.        不能.
假設能夠按照題目要求在圓周上排列所述的100個數,我們來按所排列順序將它們每5個分為一組,可得20組,其中每兩組都沒有共同的數,于是,在每一組的5個數中都至少有兩個數是3 的倍數.從而一共有不少于40個數是3 的倍數.但事實上,在1至100的自然數中有33個數是3的倍數,導致矛盾.
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5#
 樓主| 發表于 2012-11-5 01:04:04 | 只看該作者

(二) 數字謎
小朋友們都玩過字謎吧,就是一種文字游戲,例如“空中碼頭”(打一城市名)。謎底你還記得嗎?記不得也沒關系,想想“空中”指什么?“天”。這個地名第1個字可能是天。“碼頭”指什么呢?碼頭又稱渡口,聯系這個地名開頭是“天”字,容易想到“天津”這個地名,而“津”正好又是“渡口”的意思。這樣謎底就出來了:天津。
算式謎又被稱為“蟲食算”,意思是說一道算式中的某些數字被蟲子吃掉了無法辨認,需要運用四則運算各部分之間的關系,通過推理判定被吃掉的數字,把算式還原。“蟲食算”主要指橫式算式謎和豎式算式謎,其中未知的數字常常用□、△、☆等圖形符號或字母表示。文字算式謎是前兩種算式謎的延伸,用文字或字母來代替未知的數字,在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的數字,相同的數字或字母表示同一個數字。文字算式謎也是最難的一種算式謎。
在數學里面,文字也可以組成許許多多的數學游戲,就讓我們一起來看看吧。

①        橫式字謎

一、例題與方法指導

例1 □,□8,□97在上面的3個方框內分別填入恰當的數字,可以使得這3個數的平均數是150。那么所填的3個數字之和是多少?
思路導航:150*3-8-97-5=340
     所以3個數之和為3+4+5=12。

例2 在下列算式的□中填上適當的數字,使得等式成立:
   (1)6□□4÷56=□0□,
   (2)7□□8÷37=□1□,
   (3)3□□3÷2□=□17,
   (4)8□□□÷58=□□6。
分析:(1) 6104/56=109
  (2)7548/37=204
   (3) 3393/29=117
   (4)8468/58=146

例3  在算式40796÷□□□=□99……98的各個方框內填入適當的數字后,就可以使其成為正確的等式。求其中的除數。
分析:40796/102=399...98。

例4  我學數學樂×我學數學樂=數數數學數數學學數學
  在上面的乘法算式中,“我、學、數、樂”分別代表的4個不同的數字。如果“樂”代表9,那么“我數學”代表的三位數是多少?

分析:學=1,我=8,數=6  ,81619*81619=6661661161

例5  □÷(□÷□÷□)=24在式中的4個方框內填入4個不同的一位數,使左邊的數比右邊的數小,并且等式成立。
思路導航:
這樣,我們可以先用字母代替數字,原等式寫成:a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b,(a<b<c<d)
     當a=1時,有6*8/2=24,8*9/3=24;
     當a=2時,有4*9/3=12,6*8/4=12,8*9/6=12;
     所以,滿足要求的等式有:1÷(2÷6÷8)=24,1÷(3÷8÷9)=24,2÷(3÷4÷9)=24,2÷(4÷6÷8)=24,2÷(6÷8÷9)=24。

例6 ① □×□=5□;② 12+□-□=□,把1至9這9個數字分別填入上面兩個算式的各個方框中,使等式成立,這里有3個數字已經填好。

  分析:根據第一個等式,只有兩種可能:7*8=56,6*9=54;如果為7*8=56,則余下的數字有:3、4、9,顯然不行;而當6*9=54時,余下的數字有:3、7、8,那么,12+3-7=8或12+3-8=7都能滿足。

二、訓練鞏固

1. 迎迎×春春=杯迎迎杯,數數×學學=數賽賽數,春春×春春=迎迎賽賽
在上面的3個算式中,相同的漢字代表相同的數字,不同的漢字代表不同的數字。如果這3個等式都成立,那么,“迎+春+杯+數+學+賽”等于多少?
  分析:考察上面三個等式,可以從最后一個等式入手:能夠滿足:春春×春春=迎迎賽賽 的只有88*88=7744,于是,春=8,迎=7,賽=4;這樣,不難得到第一個為:77*88=6776,第二個為:55*99=5445;
所以,迎+春+杯+數+學+賽=7+8+6+5+9+4=39。
2. 迎+春×春=迎春,(迎+杯)×(迎+杯)=迎杯
        在上面的兩個橫式中,相同的漢字代表相同的數字,不同的漢字代表不同的數字。那么“迎+春+杯”等于多少?
  分析:同樣可以從第二個算式入手,發現滿足要求的只有(8+1)*(8+1)=81,于是,迎=8;
這樣,第一個算式顯然只有:8+9*9=89;所以,迎+春+杯=8+9+1=18。
三、拓展提升
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6#
 樓主| 發表于 2012-11-5 01:04:09 | 只看該作者

1.在下列各式的□中分別填入相同的兩位數:
(1)5×□=2□;                        (2)6×□=3□。
2.將3~9中的數填入下列各式,使算式成立,要求各式中無重復的數字:
(1)□÷□=□÷□;                (2)□÷□>□÷□。
3.在下列各式的□中填入合適的數字:
(1)448÷□□=□;                        (2)2822÷□□=□□;
(3)13×□□= 4□6。
4.在下列各式的□中填入合適的數:
(1) □÷32=8……31;        (2)573÷32=□……29;
(3)4837÷□=74……27。
答案與提示  練習22
  
4.(1)287;(2)17;()65。

②豎式字謎
一、例題與方法指導

例1 在圖4-1所示的算式中,每一個漢字代表一個數字,不同的漢字代表不同的數字.那么“喜歡”這兩個漢字所代表的兩位數是多少?

  分析: 首先看個位,可以得到“歡”是0或5,但是“歡”是第二個數的十位,所以“歡”不能是0,只能是5。 再看十位,“歡”是5,加上個位有進位1,那么,加起來后得到的“人”就應該是偶數,因為結果的百位也是“人”,所以“人”只能是2;由此可知,“喜”等于8。 所以,“喜歡”這兩個漢字所代表的兩位數就是85。

例2 在圖4-2所示的豎式中,相同的漢字表示相同的數字,不同的漢字表示不同的數字.如果:巧+解+數+字+謎=30,那么“數字謎”所代表的三位數是多少?

  分析:還是先看個位,5個“謎”相加的結果個位還是等于“謎”,“謎”必定是5(0顯然可以排出); 接著看十位,四個“字”相加再加上進位2,結果尾數還是“字”,那說明“字”只能是6; 再看百位,三個“數”相加再加上進位2,結果尾數還是“數”,“數”可能是4或9; 再看千位,(1)如果“數”為4,兩個“解”相加再加上進位1,結果尾數還是“解”,那說明“解”只能是9;5+6+4+9=24,30-24=6,“巧”等于6與“字”等于6重復,不能; (2)如果“數”為9,兩個“解”相加再加上進位2,結果尾數還是“解”,那說明“解”只能是8;5+6+9+8=28,30-28=2,可以。 所以“數字謎”代表的三位數是965。

例3在圖4-3所示的加法算式中,相同的漢字表示相同的數字,不同的漢字表示不同的數字.請把這個豎式翻譯成數字算式.


  分析:首先萬位上“華”=1; 再看千位,“香”只能是8或9,那么“人”就相應的只能是0或1。但是“華”=1,所以,“人”就是0; 再看百位,“人”=0,那么,十位上必須有進位,否則“港”+“人”還是“港”。由此可知“回”比“港”大1,這樣就說明“港”不是9,百位向千位也沒有進位。于是可以確定“香”等于9的; 再看十位,“回”+“愛”=“港”要有進位的,而“回”比“港”大1,那么“愛”就等于8;同時,個位必須有進位; 再看個位,兩數相加至少12,至多13,即只能是5+7或6+7,顯然“港”=5,“回”=6,“歸”=7。 這樣,整個算式就是:9567+1085=10652。

例4 圖4-4是一個加法豎式,其中E,F,I,N,O,R S,T,X,Y分別表示從0到9的不同數字,且F,S不等于零.那么這個算式的結果是多少?


  分析:先看個位和十位,N應為0,E應為5;再看最高位上,S比F大1;千位上O最少是8;但因為N等于0,所以,I只能是1,O只能是9;由于百位向千位進位是2,且X不能是0,因此決定了T、R只能是7、8這兩個;如果T=7,X=3,這是只剩下了2、4、6三個數,無法滿足S、F是兩個連續數的要求。所以,T=8、R=7;由此得到X=4;那么,F=2,S=3,Y=6。所以,得到的算式結果是31486。

二、訓練鞏固

1. 在圖4-5所示的減法算式中,每一個字母代表一個數字,不同的字母代表不同的數字.那么D+G等于多少?

  分析:先從最高位看,顯然A=1,B=0,E=9;接著看十位,因為E等于9,說明個位有借位,所以F只能是8;由F=8可知,C=7;這樣,D、G有2、4,3、5和4、6三種可能。所以,D+G就可以等于6,8或10。

2. 王老師家的電話號碼是一個七位數,把它前四位組成的數與后三位組成的數相加得9063,把它前三位數組成的數與后四位數組成的數相加得2529.求王老師家的電話號碼.
  分析:我們可以用abcdefg來表示這個七位數電話號碼。由題意知,abcd+efg=9063,abc+defg=2529;
首先從第一個算式可以看出,a=8,從第二個算式可以看出,d=1;再回到第一個算式,g=2,掉到第二個算式,c=7;又回到第一個算式,f=9,掉到第二個算式,b=3;那么,e=6。所以,王老師家的電話號碼是8371692。

3. 將一個四位數的各位順序顛倒過來,得到一個新的四位數.如果新數比原數大7902,那么在所有符合這樣條件的四位數中,原數最大是多少?
  分析:用abcd來表示愿四位數,那么新四位數為dcba,dcba-abcd=7902;由最高為看起,a最大為2,則d=9;但個位上10+a-d=2,所以,a只能是1;接下來看百位,b最大是9,那么,c=8正好能滿足要求。所以,原四位數最大是1989。

三、拓展提升
1.已知圖4-6所示的乘法豎式成立.那么ABCDE是多少?

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7#
 樓主| 發表于 2012-11-5 01:04:14 | 只看該作者

  分析:由1/7的特點易知,ABCDE=42857。142857*3=428571。
2. 某個自然數的個位數字是4,將這個4移到左邊首位數字的前面,所構成的新數恰好是原數的4倍.問原數最小是多少?
  分析:由個位起逐個遞推:4*4=16,原十位為6;4*6+1=25,原百位為5;4*5+2=22,原千位為2;
4*2+2=10,原萬位為0; 1*4=4,正好。所以,原數最小是102564。
3. 在圖4-7所示的豎式中,相同的漢字表示相同的數字,不同的漢字表示不同的數字.則符合題意的數“迎春杯競賽贊”是多少?


  分析:同第10題一樣,也是利用1/7的特點。因為每個字母代表不同的數字,因此“好”只有3和6可選:
好=3,則:142857*3=428571;好=6,則:142857*6=857142;兩個都能滿足,所以,符合題意的數“迎春杯競賽贊”可能是428571或857142。


(三) 定義新運算
定義新運算通常是用特殊的符號表示特定的運算意義。它的符號不同于課本上明確定義或已經約定的符號,例如“+、-、×、÷、、>、<”等。表示運算意義的表達式,通常是使用四則運算符號,例如a☆b=3a-3b,新運算使用的符號是☆,而等號右邊表示新運算意義的則是四則運算符號。
正確解答定義新運算這類問題的關鍵是要確切理解新運算的意義,嚴格按照規定的法則進行運算。如果沒有給出用字母表示的規則,則應通過給出的具體的數字表達式,先求出表示定義規則的一般表達式,方可進行運算。
值得注意的是:定義新運算一般是不滿足四則運算中的運算律和運算性質,所以,不能盲目地運用定律和運算性質解題。

一、例題與方法指導

例1.        設 ab都表示數,規定a△b表示a的4倍減去b的3倍,即a△b=4×a-3×b,試計算5△6,6△5。
解5△6-5×4-6×3=20-18=2
           6△5=6×4-5×3=24-15=9
說明  例1定義的△沒有交換律,計算中不得將△前后的數交換。

例2.        對于兩個數a、b,規定a☆b表示3×a+2×b,試計算(5☆6)☆7,5☆(6☆7)。
思路導航:
先做括號內的運算。
解   (5☆6)☆7=(5×3+6×2)☆7=27☆7=27×3+7×2=95
5☆(6☆7)=5☆(6×3+7×2)=5☆32=5×3+32×2=79
說明  本題定義的運算不滿足結合律。這是與常規的運算有區別的。

例3.        已知2△3=2×3×4,4△2=4×5,一般地,對自然數a、b,a△b 表示a×(a+1)×…(a+b-1).
計算(6△3)-(5△2)。
思路導航:
原式=6×7--5×6
       =336-30
規定:a△=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b-1),其中a,b表示自然數。

例4.        求1△100的值。已知x△10=75,求x.
思路導航:
(1)原式=1+2+3+…+100=(1+100)×100÷2=5050
(2)原式即x+(x+1)+(x+2)+…+(X+9)=75,
所以
10X+(1+2+3+…+9)=75
           10x+45=75
              10x=30
                x=3

二、鞏固訓練

1.        若對所有b,a△b =a×x,x是一個與b無關的常數;a☆b=(a+b)÷2,且(1△3)☆3=1△(3☆3)。
求(1△4)☆2的值。

分析   注意本題有兩種運算,由(1△3)☆3=1△(3☆3),可求出x.
解   因為(1△3)☆3=1△(3☆3),所以(1×x)

(x+3)÷2=x
x+3=2x
x=3
因為(1△4)☆2
     =(1×4)☆2
     =(4+2)÷2
     =3
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